このページは、「立方体内の正四面体」の練習問題アーカイブページとなります。
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立方体内の正四面体 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の図のように、正四面体 \({\rm ABCD}\) の各面の重心 \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S}\) を頂点とする多面体がある。この多面体 \({\rm PQRS}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)多面体 \({\rm PQRS}\) が正四面体であることを示せ。
\({\small (2)}~\)多面体 \({\rm PQRS}\) と正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積比を求めよ。
\({\small (1)}~\)多面体 \({\rm PQRS}\) が正四面体であることを示せ。
\({\small (2)}~\)多面体 \({\rm PQRS}\) と正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積比を求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.124 章末問題B 9
数研出版｜新編数学A[104-904] p.113 章末問題B 9
[証明]
\({\small (1)}~\)直線 \({\rm AP}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm T}\) 、直線 \({\rm AQ}\) と辺 \({\rm CD}\) の交点を \({\rm U}\) とする
\({\rm P}~,~{\rm Q}\) はそれぞれ面 \({\rm ABC}~,~{\rm ACD}\) の重心なので、
\({\rm AP}:{\rm PT}={\rm AQ}:{\rm QU}=2:1\)
よって、\(\triangle {\rm ATU}\) において、\({\rm PQ}:{\rm TU}=2:3\) となるので、
\({\rm PQ}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\rm TU}\)
ここで、正四面体 \({\rm ABCD}\) の \(1\) 辺の長さを \(a\) とすると、\({\rm T}~,~{\rm U}\) はそれぞれ辺 \({\rm BC}~,~{\rm CD}\) の中点なので、中点連結定理より、
\({\rm TU}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\rm TU}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a\end{eqnarray}\)
同様に、多面体 \({\rm PQRS}\) のすべての辺の長さは \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a\) となる
したがって、\(4\) つの面がすべて合同な正三角形となるので、多面体 \({\rm PQRS}\) は正四面体である [終]
\({\small (2)}~\)多面体 \({\rm PQRS}\) と正四面体 \({\rm ABCD}\) は相似で、その相似比は \(1\) 辺の長さの比より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a:a=1:3\)
よって、体積比は相似比の \(3\) 乗より、
\(\begin{eqnarray}~~~1^3:3^3=1:27\end{eqnarray}\)
したがって、多面体 \({\rm PQRS}\) と正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積比は \(1:27\) となる
