このページは、「倍数であることの証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
倍数であることの証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
\({\small (1)}~\)\(a\) と \(b\) がともに \(3\) の倍数ならば、\(a+b\) は \(3\) の倍数である。
\({\small (2)}~\)\(a\) と \(a-b\) がともに \(10\) の倍数ならば、\(b\) は \(10\) の倍数である。
数研出版｜数学A[104-901] p.133 練習2
\({\small (1)}~\)[証明] \(a~,~b\) がともに \(3\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=3k~,~b=3l\)
よって、\(a+b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&3k+3l
\\[3pt]~~~&=&3(k+l)\end{eqnarray}\)
\(k+l\) は整数であるので、\(3(k+l)\) は \(3\) の倍数
したがって、\(a+b\) は \(3\) の倍数となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a~,~a-b\) がともに \(10\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=10k~,~a-b=10l\)
よって、\(a\) から \(a-b\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a&=&10k \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&10l\\
\hline b&=&10k-10l
\\[3pt] b&=&10(k-l)\end{eqnarray}\)
\(k-l\) は整数であるので、\(10(k-l)\) は \(10\) の倍数
したがって、\(b\) は \(10\) の倍数となる [終]
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) が \(5\) の倍数ならば、\(a+b\) は \(5\) の倍数である。
\({\small (2)}~\)\(a~,~a+b\) が \(5\) の倍数ならば、\(b\) は \(5\) の倍数である。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.127 練習2
\({\small (1)}~\)[証明] \(a~,~b\) がともに \(5\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=5k~,~b=5l\)
よって、\(a+b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&5k+5l
\\[3pt]~~~&=&5(k+l)\end{eqnarray}\)
\(k+l\) は整数であるので、\(5(k+l)\) は \(5\) の倍数
したがって、\(a+b\) は \(5\) の倍数となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a~,~a+b\) がともに \(5\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=5k~,~a+b=5l\)
よって、\(a+b\) から \(a\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&5l \\~~
-\big{)}~~~a&=&5k\\
\hline b&=&5l-5k
\\[3pt] b&=&5(l-k)\end{eqnarray}\)
\(l-k\) は整数であるので、\(5(l-k)\) は \(5\) の倍数
したがって、\(b\) は \(5\) の倍数となる [終]
問題アーカイブ03
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) が \(4\) の倍数ならば、\(a-b\) は \(4\) の倍数である。
\({\small (2)}~\)\(a~,~a+b\) が \(5\) の倍数ならば、\(b\) は \(5\) の倍数である。
数研出版｜新編数学A[104-904] p.117 練習2
\({\small (1)}~\)[証明] \(a~,~b\) がともに \(4\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=4k~,~b=4l\)
よって、\(a-b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a-b&=&4k-4l
\\[3pt]~~~&=&4(k-l)\end{eqnarray}\)
\(k-l\) は整数であるので、\(4(k-l)\) は \(4\) の倍数
したがって、\(a-b\) は \(4\) の倍数となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a~,~a+b\) がともに \(5\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=5k~,~a+b=5l\)
よって、\(a+b\) から \(a\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&5l \\~~
-\big{)}~~~a&=&5k\\
\hline b&=&5l-5k
\\[3pt] b&=&5(l-k)\end{eqnarray}\)
\(l-k\) は整数であるので、\(5(l-k)\) は \(5\) の倍数
したがって、\(b\) は \(5\) の倍数となる [終]
問題アーカイブ04
\({\small (1)}~\)\(a~,~b\) が \(3\) の倍数ならば、\(2a+b\) は \(3\) の倍数である。
\({\small (2)}~\)\(a~,~b\) が \(3\) の倍数ならば、\(a^2+ab+b^2\) は \(9\) の倍数である。
数研出版｜新編数学A[104-904] p.147 補充問題 1
\({\small (1)}~\)[証明] \(a~,~b\) がともに \(3\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=3k~,~b=3l\)
よって、\(2a+b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2a+b&=&2 \cdot 3k+3l
\\[3pt]~~~&=&6k+3l
\\[3pt]~~~&=&3(2k+l)\end{eqnarray}\)
\(2k+l\) は整数であるので、\(3(2k+l)\) は \(3\) の倍数
したがって、\(2a+b\) は \(3\) の倍数となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a~,~b\) がともに \(3\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=3k~,~b=3l\)
よって、\(a^2+ab+b^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+ab+b^2&=&(3k)^2+3k \cdot 3l+(3l)^2
\\[3pt]~~~&=&9k^2+9kl+9l^2
\\[3pt]~~~&=&9(k^2+kl+l^2)\end{eqnarray}\)
\(k^2+kl+l^2\) は整数であるので、\(9(k^2+kl+l^2)\) は \(9\) の倍数
したがって、\(a^2+ab+b^2\) は \(9\) の倍数となる [終]
