等式を満たす整数x、yの組

数研出版｜数学A[104-901] p.135 研究 練習1

\(x~,~y\) が整数より、\(x+2~,~y-2\) も整数となり、積が \(-5\) となる組合せは、\(x+2\) と \(y-2\) が \(-5\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((x~,~y)\) の組は、

---

　\((-1~,~-3)~,~(3~,~1)~,~\)

---

　\((-3~,~7)~,~(-7~,~3)\)

---

となる

数研出版｜数学A[104-901] p.135 研究 練習2

\({\small (1)}~xy-3x+y=2\) を \(x\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y-3)x+y=2\end{eqnarray}\)

---

\(y-3\) でくくり出すために \(y\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y-3)x+(y-3)+3=2
\\[3pt]~~~&&(y-3)x+(y-3)=-1
\\[3pt]~~~&&(x+1)(y-3)=-1\end{eqnarray}\)

---

\(x~,~y\) が整数より、\(x+1~,~y-3\) も整数となり、積が \(-1\) となる組合せは、\(x+1\) と \(y-3\) が \(-1\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x+1\\y-3\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\-1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

---

これより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\y\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}0\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-2\\4\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((x~,~y)\) の組は、

---

　\((0~,~2)~,~(-2~,~4)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}~xy-x-4y=0\) を \(x\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y-1)x-4y=0\end{eqnarray}\)

---

\(y-1\) でくくり出すために \(-4y\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y-1)x-4(y-1)-4=0
\\[3pt]~~~&&(y-1)x-4(y-1)=4
\\[3pt]~~~&&(x-4)(y-1)=4\end{eqnarray}\)

---

\(x~,~y\) が整数より、\(x-4~,~y-1\) も整数となり、積が \(4\) となる組合せは、\(x-4\) と \(y-1\) が \(4\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((x~,~y)\) の組は、

---

　\((5~,~5)~,~(6~,~3)~,~(8~,~2)~,~\)

---

　\((3~,~-3)~,~(2~,~-1)~,~(0~,~0)\)

---

となる

数研出版｜数学A[104-901] p.164 問題 2

原式を \(x\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y+2)x-3y=15\end{eqnarray}\)

---

\(y+2\) でくくり出すために \(-3y\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y+2)x-3(y+2)+6=15
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-3(y+2)=9
\\[3pt]~~~&&(x-3)(y+2)=9\end{eqnarray}\)

---

\(x~,~y\) が整数より、\(x-3~,~y+2\) も整数となり、積が \(9\) となる組合せは、\(x-3\) と \(y+2\) が \(9\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((x~,~y)\) の組は、

---

　\((4~,~7)~,~(6~,~1)~,~(12~,~-1)~,~\)

---

　\((2~,~-11)~,~(0~,~-5)~,~(-6~,~-3)\)

---

となる

数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.129 研究 練習1
数研出版｜新編数学A[104-904] p.119 研究 練習1

\({\small (1)}~xy+4x-3y=15\) を \(x\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y+4)x-3y=15\end{eqnarray}\)

---

\(y+4\) でくくり出すために \(-3y\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y+4)x-3(y+4)+12=15
\\[3pt]~~~&&(y+4)x-3(y+4)=3
\\[3pt]~~~&&(x-3)(y+4)=3\end{eqnarray}\)

---

\(x~,~y\) が整数より、\(x-3~,~y+4\) も整数となり、積が \(3\) となる組合せは、\(x-3\) と \(y+4\) が \(3\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x-3\\y+4\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}3\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-3\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

---

これより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\y\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}4\\-1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}6\\-3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}2\\-7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}0\\-5\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((x~,~y)\) の組は、

---

　\((4~,~-1)~,~(6~,~-3)~,~\)

---

　\((2~,~-7)~,~(0~,~-5)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}~xy-5x-y-1=0\) を \(x\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y-5)x-y-1=0\end{eqnarray}\)

---

\(y-5\) でくくり出すために \(-y-1\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y-5)x-(y+1)=0
\\[3pt]~~~&&(y-5)x-(y-5+6)=0
\\[3pt]~~~&&(y-5)x-(y-5)-6=0
\\[3pt]~~~&&(x-1)(y-5)=6\end{eqnarray}\)

---

\(x~,~y\) が整数より、\(x-1~,~y-5\) も整数となり、積が \(6\) となる組合せは、\(x-1\) と \(y-5\) が \(6\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((x~,~y)\) の組は、

---

　\((2~,~11)~,~(3~,~8)~,~(4~,~7)~,~(7~,~6)~,~\)

---

　\((0~,~-1)~,~(-1~,~2)~,~(-2~,~3)~,~(-5~,~4)\)

---

となる

数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.178 章末問題B 11

\({\small (1)}~xy+2x-3y=1\) を \(x\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y+2)x-3y=1\end{eqnarray}\)

---

\(y+2\) でくくり出すために \(-3y\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y+2)x-3(y+2)+6=1
\\[3pt]~~~&&(y+2)x-3(y+2)=-5
\\[3pt]~~~&&(x-3)(y+2)=-5\end{eqnarray}\)

---

\(x~,~y\) が整数より、\(x-3~,~y+2\) も整数となり、積が \(-5\) となる組合せは、\(x-3\) と \(y+2\) が \(-5\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((x~,~y)\) の組は、

---

　\((4~,~-7)~,~(8~,~-3)~,~\)

---

　\((2~,~3)~,~(-2~,~-1)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}\) 両辺に \(2xy\) を掛けると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&2y+2x=xy
\\[3pt]~~~&&xy-2x-2y=0\end{eqnarray}\)

---

\(x\) について整理して \(x-2\) でくくり出すために \(-2y\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(y-2)x-2y=0
\\[3pt]~~~&&(y-2)x-2(y-2)-4=0
\\[3pt]~~~&&(x-2)(y-2)=4\end{eqnarray}\)

---

\(x~,~y\) が正の整数より、\(x-2~,~y-2\) は \(-1\) 以上の整数となり、積が \(4\) となる組合せは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x-2\\y-2\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}2\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}4\\1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

---

---

これより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\y\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}3\\6\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}4\\4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}6\\3\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((x~,~y)\) の組は、

---

　\((3~,~6)~,~(4~,~4)~,~(6~,~3)\)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.122 問8

\({\small (1)}\) \(a~,~b\) が整数より、積が \(3\) となる組合せは、\(a\) と \(b\) が \(3\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a\\b\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}3\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-3\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((1~,~3)~,~(3~,~1)~,~\)

---

　\((-1~,~-3)~,~(-3~,~-1)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}\) \(a~,~b\) が整数より、積が \(-6\) となる組合せは、\(a\) と \(b\) が \(-6\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((1~,~-6)~,~(2~,~-3)~,~(3~,~-2)~,~(6~,~-1)~,~\)

---

　\((-1~,~6)~,~(-2~,~3)~,~(-3~,~2)~,~(-6~,~1)\)

---

となる

 
 

\({\small (3)}\) \(a~,~b\) が整数より、\(a-2~,~b-3\) も整数となり、積が \(4\) となる組合せは、\(a-2\) と \(b-3\) が \(4\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((3~,~7)~,~(4~,~5)~,~(6~,~4)~,~\)

---

　\((1~,~-1)~,~(0~,~1)~,~(-2~,~2)\)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.122 問9

\({\small (1)}~ab+4a+2b=3\) を \(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b+4)a+2b=3\end{eqnarray}\)

---

\(b+4\) でくくり出すために \(2b\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b+4)a+2(b+4)-8=3
\\[3pt]~~~&&(b+4)a+2(b+4)=11
\\[3pt]~~~&&(a+2)(b+4)=11\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(a+2~,~b+4\) も整数となり、積が \(11\) となる組合せは、\(a+2\) と \(b+4\) が \(11\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((-1~,~7)~,~(9~,~-3)~,~\)

---

　\((-3~,~-15)~,~(-13~,~-5)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}~ab+2a-3b=10\) を \(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b+2)a-3b=10\end{eqnarray}\)

---

\(b+2\) でくくり出すために \(-3b\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b+2)a-3(b+2)+6=10
\\[3pt]~~~&&(b+2)a-3(b+2)=4
\\[3pt]~~~&&(a-3)(b+2)=4\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(a-3~,~b+2\) も整数となり、積が \(4\) となる組合せは、\(a-3\) と \(b+2\) が \(4\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((4~,~2)~,~(5~,~0)~,~(7~,~-1)~,~\)

---

　\((2~,~-6)~,~(1~,~-4)~,~(-1~,~-3)\)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.142 問題 3

\({\small (1)}~ab-4a+3b-15=0\) を \(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b-4)a+3b-15=0\end{eqnarray}\)

---

\(b-4\) でくくり出すために \(3b-15\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b-4)a+3(b-4)+12-15=0
\\[3pt]~~~&&(b-4)a+3(b-4)-3=0
\\[3pt]~~~&&(a+3)(b-4)=3\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(a+3~,~b-4\) も整数となり、積が \(3\) となる組合せは、\(a+3\) と \(b-4\) が \(3\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a+3\\b-4\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}3\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-3\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

---

これより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a\\b\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}-2\\7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}0\\5\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-4\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-6\\3\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((-2~,~7)~,~(0~,~5)~,~\)

---

　\((-4~,~1)~,~(-6~,~3)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}\) 両辺に \(ab\) を掛けると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&2b+3a=ab
\\[3pt]~~~&&ab-3a-2b=0\end{eqnarray}\)

---

\(a\) について整理して \(a-2\) でくくり出すために \(-2b\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b-3)a-2b=0
\\[3pt]~~~&&(b-3)a-2(b-3)-6=0
\\[3pt]~~~&&(a-2)(b-3)=6\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(a-2~,~b-3\) も整数となり、積が \(6\) となる組合せは、\(a-2\) と \(b-3\) が \(6\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

ここで、\(a=0\) または \(b=0\) となる組 \((0~,~0)\) を除くと、

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((3~,~9)~,~(4~,~6)~,~(5~,~5)~,~(8~,~4)~,~\)

---

　\((1~,~-3)~,~(-1~,~1)~,~(-4~,~2)\)

---

となる

 
 

\({\small (3)}~2ab-a-b=1\) の両辺を \(2\) 倍すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&4ab-2a-2b=2\end{eqnarray}\)

---

\((2a-1)(2b-1)\) の形をつくるために式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&2a(2b-1)-(2b-1)-1=2
\\[3pt]~~~&&2a(2b-1)-(2b-1)=3
\\[3pt]~~~&&(2a-1)(2b-1)=3\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(2a-1~,~2b-1\) も整数となり、積が \(3\) となる組合せは、\(2a-1\) と \(2b-1\) が \(3\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}2a-1\\2b-1\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}3\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-3\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

---

これより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a\\b\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}2\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}0\\-1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\0\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((1~,~2)~,~(2~,~1)~,~\)

---

　\((0~,~-1)~,~(-1~,~0)\)

---

となる

東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.118 問6

\({\small (1)}\) \(a~,~b\) が整数より、積が \(7\) となる組合せは、\(a\) と \(b\) が \(7\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a\\b\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}7\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-7\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((1~,~7)~,~(7~,~1)~,~\)

---

　\((-1~,~-7)~,~(-7~,~-1)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}\) \(a~,~b\) が整数より、積が \(-4\) となる組合せは、\(a\) と \(b\) が \(-4\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((1~,~-4)~,~(2~,~-2)~,~(4~,~-1)~,~\)

---

　\((-1~,~4)~,~(-2~,~2)~,~(-4~,~1)\)

---

となる

東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.119 問7

\({\small (1)}\) \(a~,~b\) が整数より、\(a-3~,~b+5\) も整数となり、積が \(7\) となる組合せは、\(a-3\) と \(b+5\) が \(7\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a-3\\b+5\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}7\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-7\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-7\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

---

これより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a\\b\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}4\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}10\\-4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}2\\-12\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-4\\-6\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((4~,~2)~,~(10~,~-4)~,~\)

---

　\((2~,~-12)~,~(-4~,~-6)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}~ab-2a+b=4\) を \(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b-2)a+b=4\end{eqnarray}\)

---

\(b-2\) でくくり出すために \(b\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b-2)a+(b-2)+2=4
\\[3pt]~~~&&(b-2)a+(b-2)=2
\\[3pt]~~~&&(a+1)(b-2)=2\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(a+1~,~b-2\) も整数となり、積が \(2\) となる組合せは、\(a+1\) と \(b-2\) が \(2\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a+1\\b-2\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}2\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\-2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-2\\-1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

---

これより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a\\b\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}0\\4\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}1\\3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-2\\0\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-3\\1\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((0~,~4)~,~(1~,~3)~,~\)

---

　\((-2~,~0)~,~(-3~,~1)\)

---

となる

東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.133 Training 2

\({\small (1)}~ab+2a-4b=3\) を \(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b+2)a-4b=3\end{eqnarray}\)

---

\(b+2\) でくくり出すために \(-4b\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b+2)a-4(b+2)+8=3
\\[3pt]~~~&&(b+2)a-4(b+2)=-5
\\[3pt]~~~&&(a-4)(b+2)=-5\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(a-4~,~b+2\) も整数となり、積が \(-5\) となる組合せは、\(a-4\) と \(b+2\) が \(-5\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((5~,~-7)~,~(9~,~-3)~,~\)

---

　\((3~,~3)~,~(-1~,~-1)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}~ab+a+b+5=0\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&ab+a+b+1+4=0
\\[3pt]~~~&&(a+1)(b+1)+4=0
\\[3pt]~~~&&(a+1)(b+1)=-4\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(a+1~,~b+1\) も整数となり、積が \(-4\) となる組合せは、\(a+1\) と \(b+1\) が \(-4\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((0~,~-5)~,~(1~,~-3)~,~(3~,~-2)~,~\)

---

　\((-2~,~3)~,~(-3~,~1)~,~(-5~,~0)\)

---

となる

東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.158 Level Up 4

\({\small (1)}\) 両辺に \(ab\) を掛けると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&2b+3a=ab
\\[3pt]~~~&&ab-3a-2b=0\end{eqnarray}\)

---

\(a\) について整理して \(a-2\) でくくり出すために \(-2b\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(b-3)a-2b=0
\\[3pt]~~~&&(b-3)a-2(b-3)-6=0
\\[3pt]~~~&&(a-2)(b-3)=6\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(a-2~,~b-3\) も整数となり、積が \(6\) となる組合せは、\(a-2\) と \(b-3\) が \(6\) の約数となるので、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

これより、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

---

ここで、\(a=0\) または \(b=0\) となる組 \((0~,~0)\) を除くと、

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((3~,~9)~,~(4~,~6)~,~(5~,~5)~,~(8~,~4)~,~\)

---

　\((1~,~-3)~,~(-1~,~1)~,~(-4~,~2)\)

---

となる

 
 

\({\small (2)}~2ab-6a+b+3=0\) を \(a\) について整理すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(2b-6)a+b+3=0
\\[3pt]~~~&&2(b-3)a+b+3=0\end{eqnarray}\)

---

\(b-3\) でくくり出すために \(b+3\) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&2(b-3)a+(b-3)+6=0
\\[3pt]~~~&&2(b-3)a+(b-3)=-6
\\[3pt]~~~&&(2a+1)(b-3)=-6\end{eqnarray}\)

---

\(a~,~b\) が整数より、\(2a+1~,~b-3\) も整数となり、積が \(-6\) となる組合せは、\(2a+1\) と \(b-3\) が \(-6\) の約数となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}2a+1\\b-3\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}1\\-6\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}3\\-2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\6\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-3\\2\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

---

---

これより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a\\b\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}0\\-3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}1\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-1\\9\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}-2\\5\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((a~,~b)\) の組は、

---

　\((0~,~-3)~,~(1~,~1)~,~\)

---

　\((-1~,~9)~,~(-2~,~5)\)

---

となる