2次式の等式を満たす自然数x、yの組

数研出版｜数学A[104-901] p.185 演習問題B 11

\(\sqrt{\,n^2+45\,}=k\)（\(k\) は自然数）とおくと、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,n^2+45\,}&=&k
\\[3pt]~~~n^2+45&=&k^2
\\[3pt]~~~k^2-n^2&=&45
\\[3pt]~~~(k+n)(k-n)&=&45\end{eqnarray}\)

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ここで、\(n~,~k\) は自然数より、\(n{\small ~≧~}1~,~k{\small ~≧~}1\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~k+n&{\small ~≧~}&1+1\\[3pt]~~~k+n&{\small ~≧~}&2\end{eqnarray}\)

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また、\(k+n\) と \(k-n\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~(k+n)-(k-n)&=&2n\end{eqnarray}\)

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であり、これが偶数となることより、\(k+n\) と \(k-n\) は偶奇が一致するので、

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また、\(45=3^2{\, \small \times \,}5\) より、\(k+n~,~k-n\) は \(45\) の約数となるので、

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\(k+n{\small ~≧~}2\) かつ \(k+n\gt k-n\) であることに注意すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}k+n\\k-n\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}45\\1\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}15\\3\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}9\\5\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,1\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}45\\1\,\end{array}\right)\) の場合

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
k+n&=&45 \\~~
-\big{)}~~~k-n&=&1\\
\hline 2n&=&44
\\[3pt] n&=&22\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,2\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}15\\3\,\end{array}\right)\) の場合

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
k+n&=&15 \\~~
-\big{)}~~~k-n&=&3\\
\hline 2n&=&12
\\[3pt] n&=&6\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,3\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}9\\5\,\end{array}\right)\) の場合

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
k+n&=&9 \\~~
-\big{)}~~~k-n&=&5\\
\hline 2n&=&4
\\[3pt] n&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、求める \(n\) は、

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　\(n=2~,~6~,~22\)

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となる

数研出版｜数学A[104-901] p.185 演習問題B 12

\({\small (1)}\) \(x\) について整理すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&2x^2+7xy+3y^2+11x+13y+12
\\[3pt]~~~&=&2x^2+(7y+11)x+(3y^2+13y+12)
\\[3pt]~~~&=&2x^2+(7y+11)x+(y+3)(3y+4)\end{eqnarray}\)

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文字式のたすき掛けをすると、

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　\(\begin{array}{c c c|c}
~~~1&&(3y+4)~&~6y+8\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~2&&(y+3)~&~y+3\\[2pt]
\hline
&&&7y+11
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{x+(3y+4)\}\{2x+(y+3)\}
\\[3pt]~~~&=&(x+3y+4)(2x+y+3)\end{eqnarray}\)

 
 

よって、\({\small (2)}\) 等式 \(2x^2+7xy+3y^2+11x+13y=60\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x^2+7xy+3y^2+11x+13y&=&60
\\[3pt]~~~2x^2+7xy+3y^2+11x+13y+12&=&72
\\[3pt]~~~(x+3y+4)(2x+y+3)&=&72\end{eqnarray}\)

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ここで、\(x~,~y\) は自然数より、\(x{\small ~≧~}1~,~y{\small ~≧~}1\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~x+3y+4&{\small ~≧~}&1+3\cdot1+4\\[3pt]~~~x+3y+4&{\small ~≧~}&8\end{eqnarray}\)

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また、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x+y+3&{\small ~≧~}&2\cdot1+1+3\\[3pt]~~~2x+y+3&{\small ~≧~}&6\end{eqnarray}\)

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また、\(72=2^3{\, \small \times \,}3^2\) より、\(x+3y+4~,~2x+y+3\) は \(72\) の約数となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x+3y+4\\2x+y+3\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}8\\9\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}9\\8\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}12\\6\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,1\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}8\\9\,\end{array}\right)\) の場合

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+3y+4&=&8 \\~~
-\big{)}~~~2x+y+3&=&9\\
\hline -x+2y+1&=&-1
\\[3pt] -x+2y&=&-2\end{eqnarray}\)

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ここで、

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\(\begin{eqnarray}~~~x+3y&=&4
\\[3pt]~~~-x+2y&=&-2\end{eqnarray}\)

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この \(2\) 式を加えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+3y&=&4 \\~~
+\big{)}~~~-x+2y&=&-2\\
\hline 5y&=&2\end{eqnarray}\)

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　\(y\) は自然数より、不適

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\(\small [\,2\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}9\\8\,\end{array}\right)\) の場合

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+3y+4&=&9 \\~~
-\big{)}~~~2x+y+3&=&8\\
\hline -x+2y+1&=&1
\\[3pt] -x+2y&=&0\end{eqnarray}\)

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ここで、

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\(\begin{eqnarray}~~~x+3y&=&5
\\[3pt]~~~-x+2y&=&0\end{eqnarray}\)

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この \(2\) 式を加えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+3y&=&5 \\~~
+\big{)}~~~-x+2y&=&0\\
\hline 5y&=&5
\\[3pt] y&=&1\end{eqnarray}\)

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\(-x+2y=0\) に \(y=1\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~-x+2\cdot1&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,3\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}12\\6\,\end{array}\right)\) の場合

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+3y+4&=&12 \\~~
-\big{)}~~~2x+y+3&=&6\\
\hline -x+2y+1&=&6
\\[3pt] -x+2y&=&5\end{eqnarray}\)

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ここで、

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\(\begin{eqnarray}~~~x+3y&=&8
\\[3pt]~~~-x+2y&=&5\end{eqnarray}\)

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この \(2\) 式を加えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
x+3y&=&8 \\~~
+\big{)}~~~-x+2y&=&5\\
\hline 5y&=&13\end{eqnarray}\)

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　\(y\) は自然数より、不適

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したがって、\((x~,~y)\) の組は \((2~,~1)\) となる

東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.143 練習問題 4
東京書籍｜Standard数学A[702] p.158 Level Up 5

\(a^2-b^2=24\) を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2-b^2&=&24
\\[3pt]~~~(a+b)(a-b)&=&24\end{eqnarray}\)

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ここで、\(a~,~b\) は正の整数より、\(a{\small ~≧~}1~,~b{\small ~≧~}1\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+b&{\small ~≧~}&1+1\\[3pt]~~~a+b&{\small ~≧~}&2\end{eqnarray}\)

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また、\(a+b\) と \(a-b\) について、

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\(\begin{eqnarray}~~~(a+b)-(a-b)&=&2b\end{eqnarray}\)

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であり、これが偶数となることより、\(a+b\) と \(a-b\) は偶奇が一致するので、

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また、\(24=2^3{\, \small \times \,}3\) より、\(a+b~,~a-b\) は \(24\) の約数となるので、

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\(a+b{\small ~≧~}2\) かつ \(a+b\gt a-b\) であり、\(a+b~,~a-b\) がともに偶数であることに注意すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}a+b\\a-b\,\end{array}\right)=\left(\,\begin{array}{c}12\\2\,\end{array}\right)~,~\left(\,\begin{array}{c}6\\4\,\end{array}\right)\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,1\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}12\\2\,\end{array}\right)\) の場合

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&12 \\~~
+\big{)}~~~a-b&=&2\\
\hline 2a&=&14
\\[3pt] a&=&7\end{eqnarray}\)

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\(a+b=12\) に \(a=7\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~7+b&=&12
\\[3pt]~~~b&=&5\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,2\,]~\)\(\left(\,\begin{array}{c}6\\4\,\end{array}\right)\) の場合

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&6 \\~~
+\big{)}~~~a-b&=&4\\
\hline 2a&=&10
\\[3pt] a&=&5\end{eqnarray}\)

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\(a+b=6\) に \(a=5\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~5+b&=&6
\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、\((a~,~b)\) の組は、

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　\((7~,~5)~,~(5~,~1)\)

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となる