このページは、「倍数と約数の個数の条件と自然数」の練習問題アーカイブページとなります。
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倍数と約数の個数の条件と自然数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(18\) の倍数で、正の約数の個数が \(14\) 個である自然数 \(n\) を求めよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.185 演習問題B 10
正の約数の個数が \(14\) 個より、
\(14=1 \cdot 14=2 \cdot 7\)
これより、自然数 \(n\) は素因数 \(p~,~q\) を用いて、
\(p^{13}\) または \(p^1 \cdot q^6\)
と表される
ここで、\(n\) は \(18\) の倍数より、\(k\) を自然数として、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&18k\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3^2 \cdot k\end{eqnarray}\)
\(n=p^{13}\) のときは、素因数が \(1\) 種類しかないため \(18\) の倍数にならないので不適となる
よって、\(n=p^1 \cdot q^6\) と表されるので、
\({\small [\,1\,]}~p=3~,~q=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3^1 \cdot 2^6\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 64\\[3pt]~~~&=&192\end{eqnarray}\)
\(n=2 \cdot 3^2 \cdot k\) と比べると、素因数 \(3\) が \(1\) 個しかないため \(18\) の倍数にならないので不適となる
\({\small [\,2\,]}~p=2~,~q=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&2^1 \cdot 3^6\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 729\\[3pt]~~~&=&1458\end{eqnarray}\)
\(n=2 \cdot 3^2 \cdot k\) と表せるので \(18\) の倍数となり適する
したがって、\(n=1458\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(500\) 以下の自然数のうち、正の約数が \(15\) 個である数の個数を求めよ。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.178 章末問題B 10
正の約数の個数が \(15\) 個より、
\(15=1 \cdot 15=3 \cdot 5\)
これより、正の約数が \(15\) 個である自然数は、異なる \(2\) つの素数 \(p~,~q\) を用いて、
\(p^{14}\) または \(p^2 \cdot q^4\)
と表される
ここで、\(500\) 以下という条件を考える
\({\small [\,1\,]}~n=p^{14}\) のとき、
最小の \(p=2\) でも、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&2^{14}\\[3pt]~~~&=&16384\end{eqnarray}\)
となり \(500\) を超えるので不適となる
\({\small [\,2\,]}~n=p^2 \cdot q^4\) のとき、
\(q^4\) の値が小さくなるように、\(q\) の小さいものから考えると、
\(q=2\) のとき、\(q^4=16\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&p^2 \cdot 2^4\\[3pt]~~~&=&16p^2\end{eqnarray}\)
\(16p^2{\small ~≦~}500\) となる素数 \(p\,(p≠2)\) は、
\(p=3\) のとき \(16 \cdot 9=144\)
\(p=5\) のとき \(16 \cdot 25=400\)
の \(2\) 個
\(q=3\) のとき、\(q^4=81\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&p^2 \cdot 3^4\\[3pt]~~~&=&81p^2\end{eqnarray}\)
\(81p^2{\small ~≦~}500\) となる素数 \(p\,(p≠3)\) は、
\(p=2\) のとき \(81 \cdot 4=324\)
の \(1\) 個
\(q=5\) のとき、\(q^4=625\) となり、これだけで \(500\) を超えるので不適となる
したがって、\(324~,~144~,~400\) の \(3\) 個となる
