このページは、「素因数分解と末尾の0の個数」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
素因数分解と末尾の0の個数 で確認できます。
問題アーカイブ01
\({\small (1)}~1\) から \(100\) までの自然数のうち、\(5\) の倍数の個数を求めよ。また、\(5^2\) の倍数の個数を求めよ。
\({\small (2)}~N\) を素因数分解したとき、素因数 \(5\) の個数を求めよ。
\({\small (3)}~N\) を計算すると、末尾に \(0\) が何個連続して並ぶか。
数研出版｜数学A[104-901] p.184 演習問題A 2
数研出版｜新編数学A[104-904] p.167 章末問題B 9
\(\begin{eqnarray}~~~N&=&100\,!\\[3pt]~~~&=&100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot~ \cdots~ \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot~ \cdots~ \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) について、\(1\) ～ \(100\) の自然数の中で \(5\) の倍数は、
\(\{\,5 \cdot 1~,~5 \cdot 2~,~ \cdots~,~5 \cdot 20\,\}\)
これより \(20\) 個
\(5^2\) すなわち \(25\) の倍数は、
\(\{\,25 \cdot 1~,~25 \cdot 2~,~25 \cdot 3~,~25 \cdot 4\,\}\)
これより \(4\) 個
したがって、\(5\) の倍数は \(20\) 個、\(5^2\) の倍数は \(4\) 個となる
\({\small (2)}\) について、\(5\) の倍数・\(25\) の倍数に加えて、\(125\) の倍数も考える
\(125\) の倍数は、
\(125 \gt 100\) より \(1\) ～ \(100\) の中に存在しないので、
これより \(0\) 個
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、素因数 \(5\) の個数は、
\(20+4+0=24\)
したがって、素因数 \(5\) の個数は \(24\) 個となる
\({\small (3)}\) について、\(N\) を計算したとき末尾に \(0\) が何個連続して並ぶかは、素因数 \(10\) の個数と等しいので、
ここで、\(10=2 \cdot 5\) より、素因数 \(2\) と素因数 \(5\) の個数のうち少ない方の個数だけ素因数 \(10\) ができる
\(1\) ～ \(100\) の自然数の中で \(2\) の倍数は、
\(\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~ \cdots~,~2 \cdot 50\,\}\)
これより \(50\) 個あり、\(4\) の倍数・\(8\) の倍数 \(\cdots\) も含めると、素因数 \(2\) の個数は \(50\) 個より多い
よって、素因数 \(5\) は \(24\) 個、素因数 \(2\) は \(24\) 個より多いので、素因数 \(10\) は \(24\) 個できる
したがって、\(N\) を計算した末尾に \(0\) が \(24\) 個並ぶ
問題アーカイブ02
ただし、\(30\,!=30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot~ \cdots~ \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) である。
\({\small (1)}~30\,!\) は \(2\) で何回割り切れるか。
\({\small (2)}~30\,!\) は一の位から続けていくつの \(0\) が並ぶか。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.143 練習問題 3
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.158 Level Up 2
\(\begin{eqnarray}~~~N&=&30\,!\\[3pt]~~~&=&30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot~ \cdots~ \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot~ \cdots~ \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) について、\(30\,!\) が \(2\) で何回割り切れるかは、素因数 \(2\) の個数と等しい
\(1\) ～ \(30\) の自然数の中で \(2\) の倍数は、
\(\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~ \cdots~,~2 \cdot 15\,\}\)
これより \(15\) 個
\(4\) の倍数は、
\(\{\,4 \cdot 1~,~4 \cdot 2~,~ \cdots~,~4 \cdot 7\,\}\)
これより \(7\) 個
\(8\) の倍数は、
\(\{\,8 \cdot 1~,~8 \cdot 2~,~8 \cdot 3\,\}\)
これより \(3\) 個
\(16\) の倍数は、
\(\{\,16 \cdot 1\,\}\)
これより \(1\) 個
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、素因数 \(2\) の個数は、
\(15+7+3+1=26\)
したがって、\(30\,!\) は \(2\) で \(26\) 回割り切れる
\({\small (2)}\) について、\(30\,!\) の末尾に \(0\) が何個連続して並ぶかは、素因数 \(10\) の個数と等しいので、
\(1\) ～ \(30\) の自然数の中で \(5\) の倍数は、
\(\{\,5 \cdot 1~,~5 \cdot 2~,~5 \cdot 3~,~5 \cdot 4~,~5 \cdot 5~,~5 \cdot 6\,\}\)
これより \(6\) 個
\(25\) の倍数は、
\(\{\,25 \cdot 1\,\}\)
これより \(1\) 個
\(\begin{array}{c|cccccc|c}&5&10&15&20&25&30&\\\hline 5&○&○&○&○&○&○&6個\\25&&&&&○&&1個\end{array}\)
よって、素因数 \(5\) は \(7\) 個で、素因数 \(2\) は \(26\) 個なので、素因数 \(10\) は \(7\) 個できる
したがって、\(30\,!\) は一の位から \(0\) が \(7\) 個並ぶ
