互いに素を用いた倍数の証明

数研出版｜数学A[104-901] p.139 練習11

[証明] \(k~,~l\) を自然数とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+5=6k~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt] a+1=8l~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&(a+5)+12
\\[3pt]~~~&=&6k+12
\\[3pt]~~~&=&6(k+2)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&(a+1)+16
\\[3pt]~~~&=&8l+16
\\[3pt]~~~&=&8(l+2)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~6(k+2)&=&8(l+2)
\\[3pt]~~~3(k+2)&=&4(l+2)\end{eqnarray}\)

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\(3\) と \(4\) は互いに素であるので、\(k+2\) は \(4\) の倍数となる

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　（※ \(l+2\) が \(3\) の倍数でもよい。）

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よって、自然数 \(m\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}~~~k+2=4m\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&6(k+2)
\\[3pt]~~~&=&6 \cdot 4m
\\[3pt]~~~&=&24m\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる [終]

 
 

【別解】 ※ \({\small [\,4\,]}\) の式を作るまで同じ。

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\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) より、\(a+17\) は \(6\) の倍数かつ \(8\) の倍数である

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\(6\) と \(8\) の最小公倍数は \(24\) であるので、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる

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したがって、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる [終]

数研出版｜数学A[104-901] p.185 演習問題B 14
数研出版｜高等学校数学A[713] p.178 章末問題B 13

\({\small (1)}~\)

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[証明] \(k\) は \(a\) と \(a-b\) の公約数であるので、

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自然数 \(m~,~n\) を用いて、\(a\) と \(a-b\) は次のように表される

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\(\begin{eqnarray}~~~a=km~~~,~~~a-b=kn\end{eqnarray}\)

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この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a-b&=&kn
\\[3pt]~~~km-b&=&kn\end{eqnarray}\)

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これを \(b\) について整理すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~b&=&km-kn
\\[3pt]~~~&=&k(m-n)\end{eqnarray}\)

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ここで、\(a \gt b\) より \(a \gt a-b\) であるから \(m \gt n\) となり、\(m-n\) は自然数である

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よって、\(b\) は \(k\) に自然数 \(m-n\) をかけた形で表されるので、

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したがって、\(k\) は \(b\) の約数である [終]

 
 

\({\small (2)}~\)

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[証明] \(k\) を \(a\) と \(a-b\) の公約数とすると、

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\(k\) は \(a\) の約数であり、\({\small (1)}\) より、\(b\) の約数でもある

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すなわち、\(k\) は \(a\) と \(b\) の公約数である

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ここで、\(a\) と \(b\) は互いに素であるから、その公約数は \(1\) のみである

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~k=1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a\) と \(a-b\) の正の公約数は \(1\) のみである

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よって、\(a\) と \(a-b\) は互いに素である [終]

数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.136 練習13
数研出版｜新編数学A[104-904] p.127 練習15

[証明] \(k~,~l\) を自然数とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+1=5k~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt] a+2=9l~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&(a+1)+10
\\[3pt]~~~&=&5k+10
\\[3pt]~~~&=&5(k+2)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&(a+2)+9
\\[3pt]~~~&=&9l+9
\\[3pt]~~~&=&9(l+1)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~5(k+2)&=&9(l+1)\end{eqnarray}\)

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\(5\) と \(9\) は互いに素であるので、\(k+2\) は \(9\) の倍数となる

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　（※ \(l+1\) が \(5\) の倍数でもよい。）

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よって、自然数 \(m\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}~~~k+2=9m\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&5(k+2)
\\[3pt]~~~&=&5 \cdot 9m
\\[3pt]~~~&=&45m\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a+11\) は \(45\) の倍数となる [終]

 
 

【別解】 ※ \({\small [\,4\,]}\) の式を作るまで同じ。

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\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) より、\(a+11\) は \(5\) の倍数かつ \(9\) の倍数である

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\(5\) と \(9\) は互いに素であるので、\(a+11\) は \(5\) と \(9\) の最小公倍数 \(45\) の倍数となる

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したがって、\(a+11\) は \(45\) の倍数となる [終]

数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.167 章末問題B 11

[証明] \(a\) と \(a+1\) の正の公約数を \(k\) とすると、

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自然数 \(m~,~n\) を用いて、\(a\) と \(a+1\) は次のように表される

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\(\begin{eqnarray}~~~a=km~~~,~~~a+1=kn\end{eqnarray}\)

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この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+1&=&kn
\\[3pt]~~~km+1&=&kn\end{eqnarray}\)

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これを \(1\) について整理すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~1&=&kn-km
\\[3pt]~~~&=&k(n-m)\end{eqnarray}\)

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ここで、\(k\) と \(n-m\) はともに整数であり、その積が \(1\) となるのは \(k=1\) のときである

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~k=1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a\) と \(a+1\) の正の公約数は \(1\) のみである

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よって、\(a\) と \(a+1\) は互いに素である [終]

東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.142 問題 10

[証明] \(a+b\) と \(ab\) が互いに素でない、すなわち \(2\) 以上の公約数をもつと仮定する

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このとき、\(a+b\) と \(ab\) は共通の素因数 \(p\) をもつ

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\(p\) は \(ab\) の素因数であるから、\(p\) は \(a\) または \(b\) の素因数である

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そこで、\(p\) が \(a\) の素因数である場合を考えると、

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\(p\) は \(a+b\) の素因数でもあるから、自然数 \(s~,~t\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}~~~a=ps~~~,~~~a+b=pt\end{eqnarray}\)

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この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~b&=&(a+b)-a
\\[3pt]~~~&=&pt-ps
\\[3pt]~~~&=&p(t-s)\end{eqnarray}\)

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よって、\(p\) は \(b\) の素因数でもある

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すなわち、\(p\) は \(a\) と \(b\) の共通の素因数となる

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これは、\(a\) と \(b\) が互いに素であることに矛盾する

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（※ \(p\) が \(b\) の素因数である場合も、同様にして矛盾が導かれる。）

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したがって、\(a+b\) と \(ab\) も互いに素である [終]