このページは、「余りによる分類と倍数の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
余りによる分類と倍数の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の差は、\(4\) の倍数であるが、\(8\) の倍数ではないことを証明せよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.146 練習14
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.157 問題 5
[証明] 連続する \(2\) つの偶数を整数 \(n\) を用いて
\(2n~,~2n+2\)
と表すと、その \(2\) 乗の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~(2n+2)^2-(2n)^2&=&(4n^2+8n+4)-4n^2\\[3pt]~~~&=&8n+4\\[3pt]~~~&=&4(2n+1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(2n+1\) は整数より、
\(4(2n+1)\) は \(4\) の倍数となる
次に、\(2n+1\) は奇数であり、\(2\) の倍数ではないので、
\(4(2n+1)\) は \(4\) では割り切れるが、\(8\) では割り切れない
したがって、連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の差は、\(4\) の倍数であるが、\(8\) の倍数ではない [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(n\) は整数とする。次のことを証明せよ。
\(n^2\) を \(5\) で割ったときの余りは、\(0\) か \(1\) か \(4\) である。
\(n^2\) を \(5\) で割ったときの余りは、\(0\) か \(1\) か \(4\) である。
数研出版｜数学A[104-901] p.147 練習15
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.157 問題 6
[証明] この整数 \(n\) を \(5\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2\\[3pt]~~~&=&5(5k^2)\end{eqnarray}\)
\(5k^2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+1)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+10k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+2k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+2)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+20k+4\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+4k)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+4k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+3)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+30k+9\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+6k+1)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+6k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+4)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+40k+16\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+8k+3)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+8k+3\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(5\) で割った余りは \(0\) か \(1\) か \(4\) になる [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(n\) は整数とする。次のことを証明せよ。
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数である。
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数である。
数研出版｜数学A[104-901] p.164 問題 10
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.177 章末問題A 5
数研出版｜新編数学A[104-904] p.166 章末問題A 4
[証明] この整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&3k\{(3k)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&3k(9k^2+2)\end{eqnarray}\)
\(k(9k^2+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+1)\{(3k+1)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+1)(9k^2+6k+3)\\[3pt]~~~&=&3(3k+1)(3k^2+2k+1)\end{eqnarray}\)
\((3k+1)(3k^2+2k+1)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+2)\{(3k+2)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+2)(9k^2+12k+6)\\[3pt]~~~&=&3(3k+2)(3k^2+4k+2)\end{eqnarray}\)
\((3k+2)(3k^2+4k+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数となる [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(n\) は整数とする。次のことを証明せよ。
\(n^2+n+1\) は \(5\) で割り切れない。
\(n^2+n+1\) は \(5\) で割り切れない。
数研出版｜数学A[104-901] p.184 演習問題A 4
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.178 章末問題B 14(1)
[証明] この整数 \(n\) を \(5\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k)^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+1)^2+(5k+1)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+10k+1+5k+1+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+15k+3\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+3k)+3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(5k^2+3k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+2)^2+(5k+2)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+20k+4+5k+2+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+25k+7\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+5k+1)+2\end{eqnarray}\)
\(5k^2+5k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(2\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+3)^2+(5k+3)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+30k+9+5k+3+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+35k+13\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+7k+2)+3\end{eqnarray}\)
\(5k^2+7k+2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+4)^2+(5k+4)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+40k+16+5k+4+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+45k+21\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+9k+4)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+9k+4\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
いずれの場合も、\(5\) で割った余りは \(0\) にならない
したがって、\(n^2+n+1\) は \(5\) で割り切れない [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(n\) は整数とする。\(n^2\) を \(4\) で割ったときの余りは \(0\) か \(1\) であることを証明せよ。
\({\small (2)}~\)\(a~,~b\) はともに奇数とする。\(a^2+b^2=c^2\) を満たす整数 \(c\) は存在しないことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(n\) は整数とする。\(n^2\) を \(4\) で割ったときの余りは \(0\) か \(1\) であることを証明せよ。
\({\small (2)}~\)\(a~,~b\) はともに奇数とする。\(a^2+b^2=c^2\) を満たす整数 \(c\) は存在しないことを証明せよ。
数研出版｜数学A[104-901] p.185 演習問題B 16
\({\small (1)}~\)
[証明] この整数 \(n\) を \(2\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) か \(1\) になる [終]
\({\small (2)}~\)
[証明] \(a~,~b\) はともに奇数であるから、整数 \(k~,~l\) を用いて
\(a=2k+1~,~b=2l+1\)
と表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&(2k+1)^2+(2l+1)^2\\[3pt]~~~&=&(4k^2+4k+1)+(4l^2+4l+1)\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+4l^2+4l+2\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k+l^2+l)+2\end{eqnarray}\)
よって、\(k^2+k+l^2+l\) は整数より、
\(a^2+b^2\) を \(4\) で割った余りは \(2\) になる
ここで、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立つと仮定すると、
\(c^2\) を \(4\) で割った余りも \(2\) になる
しかし、\({\small (1)}\) より、\(c^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) か \(1\) であり、\(2\) になることはない
これは矛盾である。
したがって、\(a^2+b^2=c^2\) を満たす整数 \(c\) は存在しない [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次のことを証明せよ。
連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の和から \(4\) を引いた数は、\(16\) の倍数である。
連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の和から \(4\) を引いた数は、\(16\) の倍数である。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.140 練習16
数研出版｜新編数学A[104-904] p.131 練習19
[証明] 連続する \(2\) つの偶数を整数 \(n\) を用いて
\(2n~,~2n+2\)
と表すと、その \(2\) 乗の和から \(4\) を引いた数は、
\(\begin{eqnarray}~~~(2n)^2+(2n+2)^2-4&=&4n^2+(4n^2+8n+4)-4\\[3pt]~~~&=&8n^2+8n\\[3pt]~~~&=&8n(n+1)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、連続する \(2\) つの整数 \(n~,~n+1\) の少なくとも一方は \(2\) の倍数になるので、
\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数となる
よって、整数 \(m\) を用いて、
\(n(n+1)=2m\)
と表されるから、
\(\begin{eqnarray}~~~8n(n+1)&=&8 \cdot 2m\\[3pt]~~~&=&16m\end{eqnarray}\)
したがって、連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の和から \(4\) を引いた数は、\(16\) の倍数となる [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(n\) は整数とする。次のことを証明せよ。
\(n^2\) が \(4\) で割り切れないとき、その余りは \(1\) である。
\(n^2\) が \(4\) で割り切れないとき、その余りは \(1\) である。
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.141 練習17
数研出版｜新編数学A[104-904] p.132 練習20
[証明] この整数 \(n\) を \(2\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割り切れる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
よって、\(n^2\) が \(4\) で割り切れないのは \(n\) が奇数のときであり、そのときの余りは \(1\) である
したがって、\(n^2\) が \(4\) で割り切れないとき、その余りは \(1\) になる [終]
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08整数 \(n\) について、\(n^2\) を \(4\) で割ったときの余りは、\(0\) または \(1\) であることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.130 問19
[証明] この整数 \(n\) を \(2\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) または \(1\) になる [終]
