このページは、「連続する整数の積の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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連続する整数の積の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(n\) は整数とする。次のことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは \(3\) の倍数である。
\({\small (2)}~\)\(n(n+1)(n+2)\) は \(6\) の倍数である。
\({\small (1)}~\)\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは \(3\) の倍数である。
\({\small (2)}~\)\(n(n+1)(n+2)\) は \(6\) の倍数である。
数研出版｜数学A[104-901] p.147 問1
\({\small (1)}~\)
[証明] 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+2&=&(3k+1)+2\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+2\) が \(3\) の倍数となる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
したがって、\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは \(3\) の倍数になる [終]
\({\small (2)}~\)
[証明] \(n(n+1)(n+2)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \({\small (1)}\) より、\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは \(3\) の倍数になるので、
\(n(n+1)(n+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(n+2)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(n+2)\) は \(6\) の倍数となる [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(n\) は整数とする。次のことを証明せよ。
\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数である。
\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数である。
数研出版｜数学A[104-901] p.147 練習16
数研出版｜高等学校数学A[104-903] p.178 章末問題B 14(2)
数研出版｜新編数学A[104-904] p.167 章末問題B 12
東京書籍｜Standard数学A[002-902] p.159 Level Up 9
[証明] \(n(n+1)(2n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2n+1&=&2(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&6k+3\\[3pt]~~~&=&3(2k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(2n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(n\) が整数のとき、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(6\) の倍数であることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.131 問20
[証明] \(n(n+1)(5n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~5n+1&=&5(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&15k+6\\[3pt]~~~&=&3(5k+2)\end{eqnarray}\)
よって、\(5n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
