数列の一般項の推測

数列 \( \{\,1~,~3~,~5~,~7~,~\cdots\,\} \) は、

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\(\begin{array}{lcccc}~~n&|&1~&~2~&~3~&~4~&\cdots~
\\[3pt]\hline
~~a_n&|&1~&~3~&~5~&~7~&\cdots~\\\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~1&=&1\cdot 2-1
\\[3pt]~~~3&=&2\cdot 2-1
\\[3pt]~~~5&=&3\cdot 2-1
\\[3pt]~~~7&=&4\cdot 2-1
\end{eqnarray}\)

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\( a_n \) は \( n \) の \( 2 \) 倍より \( 1 \) 小さいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&n\cdot 2-1
\\[3pt]~~~&=&2n-1
\end{eqnarray}\)

 
 

数列 \( \{\,2~,~4~,~8~,~16~,~\cdots\,\} \) は、

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\(\begin{array}{lcccc}~~n&|&1~&~2~&~3~&~4~&\cdots~
\\[3pt]\hline
~~a_n&|&2~&~4~&~8~&~16~&\cdots~\\\end{array}\)

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\(~~~2=2^1~,~4=2^2~,~8=2^3~,~16=2^4~,~\cdots \)

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\( a_n \) は \( 2 \) の \( n \) 乗となっているので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&2^n\end{eqnarray}\)

 
 

数列 \( \{\,1~,~-4~,~9~,~-16~,~\cdots\,\} \) は、

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\(\begin{array}{lcccc}~~n&|&1~&~2~&~3~&~4~&\cdots~
\\[3pt]\hline
~~a_n&|&1~&~-4~&~9~&~-16~&\cdots~\\\end{array}\)

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符号が交互になっているので、\( (-1)^{\,n-1} \) を付ける

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また、絶対値は \( 1~,~4~,~9~,~16~,~\cdots \) より、

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\(~~~1=1^2~,~4=2^2~,~9=3^2~,~16=4^2~,~\cdots \)

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これより、\( n \) の \( 2 \) 乗となっている

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よって、\(a_n=(-1)^{\,n-1}\cdot n^2\)