等差数列であることの証明

\(a_n=3n-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、第 \(n+1\) 項は、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&3(n+1)-1
\\[3pt]~~~&=&3n+3-1
\\[3pt]~~~&=&3n+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

 

\(a_{n+1}-a_n\) の値は、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-a_n&=&(3n+2)-(3n-1)
\\[3pt]~~~&=&3n+2-3n+1
\\[3pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)

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これより、すべての自然数 \(n\) について、\(a_{n+1}-a_n\) が \(3\) で一定であるので、数列 \(\{a_n\}\) は等差数列である

 

また、\(a_{n+1}-a_n\) の値が公差 \(d\) となるので、

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　\(a_{n+1}-a_n=d=3\)

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\(n=1\) のとき、\(a_1\) は初項であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&3\cdot 1-1
\\[3pt]~~~&=&3-1=2\end{eqnarray}\)

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したがって、初項 \(2\)、公差 \(3\) となる