- 数学B｜数列「等差数列と等比数列の漸化式」の基本例題解説ページです。
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問題｜等差数列と等比数列の漸化式
数列 47漸化式 \(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=a_n+2\) や漸化式 \(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=2\,a_n\) で定められる数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
等差数列と等比数列の漸化式
Point：等差数列と等比数列の漸化式
初項 \( a_1 \)、公差 \( d \) の等差数列となり、
初項 \( a_1 \)、公比 \( r \) の等比数列となり、
\(\small [\,1\,]\) 漸化式 \( a_{n+1}=a_n+d \)
初項 \( a_1 \)、公差 \( d \) の等差数列となり、
一般項 \( a_n=a_1+(n-1)\cdot d \)
\(\small [\,2\,]\) 漸化式 \( a_{n+1}=r\,a_n \)
初項 \( a_1 \)、公比 \( r \) の等比数列となり、
一般項 \( a_n=a_1\cdot r^{\,n-1} \)
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詳しい解説｜等差数列と等比数列の漸化式
数列 47
漸化式 \(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=a_n+2\) や漸化式 \(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=2\,a_n\) で定められる数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
漸化式 \(a_{n+1}=a_n+2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~~&&a_n~~,~~a_{n+1}
\\[-5pt]&&~~~~\rightarrow
\\[-5pt]&&~~~+2
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(a_1=3\)、公差 \(2\) の等差数列となるので、一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3+(n-1)\cdot 2
\\[3pt]~~~&=&3+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n-1
\end{eqnarray}\)
漸化式 \(a_{n+1}=2\,a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~~&&a_n~~,~~a_{n+1}
\\[-5pt]&&~~~~\rightarrow
\\[-5pt]&&~~~{\, \small \times \,}2
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(a_1=3\)、公比 \(2\) の等比数列となるので、一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3\cdot 2^{\,n-1}\end{eqnarray}\)
