階差数列をもつ数列の漸化式

数研出版｜数学Ｂ[710] p.35 練習39

\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}-a_n=3^n\) より、

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この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=3^n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 3^k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 3^k\) は、初項 \(3\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}&=&2+\displaystyle\frac{\,3\left(3^{n-1}-1\right)\,}{\,3-1\,}
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle\frac{\,3^n-3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3^n+1\,}{\,2\,}~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,3^1+1\,}{\,2\,}=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,2\,}=2
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,3^n+1\,}{\,2\,}\) となる

 

\({\small (2)}~\)\(a_{n+1}-a_n=n^2+n\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=n^2+n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (k^2+k)
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\) と \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}&=&2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,(n-1)n(2n-1)+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(n-1)n
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle\frac{\,(n-1)n(2n-1)\,}{\,6\,}+\displaystyle\frac{\,3(n-1)n\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,(n-1)n\{(2n-1)+3\}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,(n-1)n(2n+2)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,2n(n-1)(n+1)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,n(n^2-1)\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}+\displaystyle\frac{\,n^3-n\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,n^3-n+6\,}{\,3\,}~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,1^3-1+6\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}=2
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,n^3-n+6\,}{\,3\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.36 練習38
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.36 練習40

\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}-a_n=3^n\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=3^n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 3^k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 3^k\) は、初項 \(3\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}&=&1+\displaystyle\frac{\,3\left(3^{n-1}-1\right)\,}{\,3-1\,}
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle\frac{\,3^n-3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3^n-1\,}{\,2\,}~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,3^1-1\,}{\,2\,}=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,2\,}=1
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,3^n-1\,}{\,2\,}\) となる

 

\({\small (2)}~\)\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2n+1\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&0+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 1
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}&=&2\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(n-1)n+(n-1)
\\[5pt]~&=&(n-1)n+(n-1)
\\[5pt]~~~&=&(n-1)(n+1)
\\[5pt]~&=&n^2-1~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2-1=0
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=n^2-1\) となる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.48 問題 16(1)

\(a_{n+1}-a_n=2^{n-1}\) より、

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この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2^{n-1}\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}\) は、初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}&=&2+\displaystyle\frac{\,1\cdot\left(2^{n-1}-1\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~&=&2+2^{n-1}-1
\\[5pt]~~~&=&2^{n-1}+1~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^{1-1}+1=1+1=2
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=2^{n-1}+1\) となる

数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.45 補充問題 9(1)

\(a_{n+1}-a_n=n^2+n\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=n^2+n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (k^2+k)
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\) と \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}&=&2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,(n-1)n(2n-1)+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(n-1)n
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle\frac{\,(n-1)n(2n-1)\,}{\,6\,}+\displaystyle\frac{\,3(n-1)n\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,(n-1)n\{(2n-1)+3\}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,(n-1)n(2n+2)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,2n(n-1)(n+1)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,n(n^2-1)\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}+\displaystyle\frac{\,n^3-n\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,n^3-n+6\,}{\,3\,}~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,1^3-1+6\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}=2
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,n^3-n+6\,}{\,3\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.33 問3

\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}-a_n=n^2-n\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=n^2-n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (k^2-k)
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^2-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\) と \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}&=&3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,(n-1)n(2n-1)-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(n-1)n
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle\frac{\,(n-1)n(2n-1)\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,3(n-1)n\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\frac{\,(n-1)n\{(2n-1)-3\}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle\frac{\,(n-1)n(2n-4)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle\frac{\,2n(n-1)(n-2)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,3\,}+\displaystyle\frac{\,n(n^2-3n+2)\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,n^3-3n^2+2n+9\,}{\,3\,}~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,1^3-3+2+9\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,3\,}=3
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,n^3-3n^2+2n+9\,}{\,3\,}\) となる

 

\({\small (2)}~\)\(a_{n+1}-a_n=3^n\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=3^n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 3^k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 3^k\) は、初項 \(3\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}&=&2+\displaystyle\frac{\,3\left(3^{n-1}-1\right)\,}{\,3-1\,}
\\[5pt]~&=&2+\displaystyle\frac{\,3^n-3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3^n+1\,}{\,2\,}~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,3^1+1\,}{\,2\,}=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,2\,}=2
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,3^n+1\,}{\,2\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.41 問題 10(1)

\(a_{n+1}-a_n=2^{n-1}\) より、

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この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2^{n-1}\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}\) は、初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}&=&3+\displaystyle\frac{\,1\cdot\left(2^{n-1}-1\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~&=&3+2^{n-1}-1
\\[5pt]~~~&=&2^{n-1}+2~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^{1-1}+2=1+2=3
\end{eqnarray} \)

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これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=2^{n-1}+2\) となる

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.44 問3

\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}-a_n=2n-1\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2n-1\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)
\\[5pt]~~~&=&3+2\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 1
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}&=&3+2\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(n-1)n-(n-1)
\\[5pt]~&=&3+(n-1)n-(n-1)
\\[5pt]~~~&=&3+(n-1)(n-1)
\\[5pt]~~~&=&3+n^2-1
\\[5pt]~&=&n^2+2~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2+2=1+2=3
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=n^2+2\) となる

 

\({\small (2)}~\)\(a_{n+1}-a_n=n^2\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=n^2\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^2
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}&=&2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,(n-1)n(2n-1)
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,n(2n^2-3n+1)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,6\,}+\displaystyle\frac{\,2n^3-3n^2+n\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2n^3-3n^2+n+12\,}{\,6\,}~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,2-3+1+12\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,6\,}=2
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,2n^3-3n^2+n+12\,}{\,6\,}\) となる

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.52 Training 21

\({\small (1)}~\)\(a_{n+1}-a_n=n(n-1)=n^2-n\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=n^2-n\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (k^2-k)
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^2-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\) と \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) の \(n\to n-1\) と置き換えると、

---

\(\begin{eqnarray}&=&3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\,(n-1)n(2n-1)-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(n-1)n
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle\frac{\,(n-1)n(2n-1)\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,3(n-1)n\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\frac{\,(n-1)n\{(2n-1)-3\}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle\frac{\,(n-1)n(2n-4)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle\frac{\,2n(n-1)(n-2)\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&=&3+\displaystyle\frac{\,n(n^2-3n+2)\,}{\,3\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,3\,}+\displaystyle\frac{\,n^3-3n^2+2n\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,n^3-3n^2+2n+9\,}{\,3\,}~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,1^3-3+2+9\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,3\,}=3
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,n^3-3n^2+2n+9\,}{\,3\,}\) となる

 

\({\small (2)}~\)\(a_{n+1}-a_n=2^{n-1}\) より、

---

この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2^{n-1}\) となる

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}
\end{eqnarray} \)

---

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}\) は、初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

---

\(\begin{eqnarray}&=&3+\displaystyle\frac{\,1\cdot\left(2^{n-1}-1\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~&=&3+2^{n-1}-1
\\[5pt]~~~&=&2^{n-1}+2~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)

---

\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^{1-1}+2=1+2=3
\end{eqnarray} \)

---

これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

---

したがって、\(a_n=2^{n-1}+2\) となる