- 数学B｜数列「特性方程式を用いる漸化式」の基本例題解説ページです。
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問題｜特性方程式を用いる漸化式
数列 49漸化式 \(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=3a_n+2\) で定められる数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
特性方程式を用いる漸化式
Point：特性方程式を用いる漸化式
① 特性方程式より、定数 \(c\) の値を求める。（解答に書かない）
\( a_{n+1}=c~,~a_n=c \) とした方程式
\(c=pc+q\) を解く。
② 定数 \(c\) を用いて、漸化式 \( a_{n+1}=p a_n+q \) を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-c&=&p(a_n-c)\end{eqnarray}\)
③ \( b_n=a_n-c \) とおき、等比数列 \( \{b_n\} \) の一般項 \( b_n \) を求める。
\(b_{n+1}=p\cdot b_n\) より、\(b_n=b_1\cdot p^{n-1}\)
④ \( b_n=a_n-c \) より、数列 \( \{a_n\} \) の一般項 \( a_n \) を求める。
漸化式 \( a_{n+1}=p a_n+q \) で、
① 特性方程式より、定数 \(c\) の値を求める。（解答に書かない）
\( a_{n+1}=c~,~a_n=c \) とした方程式
\(c=pc+q\) を解く。
② 定数 \(c\) を用いて、漸化式 \( a_{n+1}=p a_n+q \) を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-c&=&p(a_n-c)\end{eqnarray}\)
③ \( b_n=a_n-c \) とおき、等比数列 \( \{b_n\} \) の一般項 \( b_n \) を求める。
\(b_{n+1}=p\cdot b_n\) より、\(b_n=b_1\cdot p^{n-1}\)
④ \( b_n=a_n-c \) より、数列 \( \{a_n\} \) の一般項 \( a_n \) を求める。
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詳しい解説｜特性方程式を用いる漸化式
数列 49
漸化式 \(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=3a_n+2\) で定められる数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
\(a_{n+1}=c~,~a_n=c\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&3c+2
\\[3pt]~~~-2c&=&2
\\[3pt]~~~c&=&-1
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&3c+2
\\[3pt]~~~-2c&=&2
\\[3pt]~~~c&=&-1
\end{eqnarray}\)
\( a_{n+1}=3a_n+2 \) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+1&=&3\,(a_n+1)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_n+1 \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+1}+1\)
\(b_1=a_1+1=2+1=3\)
これより、
\( b_{n+1}=3\cdot b_n~,~b_1=3 \)
数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(3\)、公比 \(3\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&3\cdot 3^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&3^n
\end{eqnarray}\)
よって、\( b_n=a_n+1 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n+1&=&3^n
\\[3pt]~~~a_n&=&3^n-1
\end{eqnarray}\)
