特性方程式を用いる漸化式

数研出版｜数学Ｂ[710] p.36 練習40

\({\small (1)}~\)

\( a_{n+1}=2a_n+3 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+3&=&2\,(a_n+3)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n+3 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}+3\)
　\(b_1=a_1+3=1+3=4\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=2\cdot b_n~,~b_1=4 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(4\)、公比 \(2\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&4\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&2^2\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&2^{n+1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n+3 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n+3&=&2^{n+1}
\\[3pt]~~~a_n&=&2^{n+1}-3
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)

\( a_{n+1}=1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}&=&-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\,a_n-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,} \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)
　\(b_1=a_1-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}=0-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}=-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot b_n~,~b_1=-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,} \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)、公比 \(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot \left(\,-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,} \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}&=&-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot \left(\,-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot \left(\,-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\left\{1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{n-1}\right\}
\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ｂ[710] p.49 問題 9(2)(3)

\( a_{n+1}=1-a_n \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}&=&-\left(\,a_n-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)
　\(b_1=a_1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}=1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=-1\cdot b_n~,~b_1=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)、公比 \(-1\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot (-1)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(-1)^{n-1}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,(-1)^{n-1}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle\frac{\,1+(-1)^{n-1}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

 
 

\(2a_{n+1}-a_n+2=0\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n-1
\end{eqnarray}\)

---

\( a_{n+1}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n-1 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+2&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(a_n+2)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n+2 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}+2\)
　\(b_1=a_1+2=1+2=3\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot b_n~,~b_1=3 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(3\)、公比 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&3\cdot \left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&3\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n+2 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n+2&=&3\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&3\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}-2
\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.37 練習40

\({\small (1)}~\)

\( a_{n+1}=4a_n-6 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2&=&4\,(a_n-2)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-2 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-2\)
　\(b_1=a_1-2=5-2=3\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=4\cdot b_n~,~b_1=3 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(3\)、公比 \(4\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&3\cdot 4^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-2 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-2&=&3\cdot 4^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n&=&3\cdot 4^{n-1}+2
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)

\( a_{n+1}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+1 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(a_n-2)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-2 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-2\)
　\(b_1=a_1-2=3-2=1\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot b_n~,~b_1=1 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1\cdot \left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-2 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-2&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}+2
\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.48 問題 16(2)(3)
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.45　補充問題 9(2)(3)

\(a_{n+1}+a_n=3\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&-a_n+3
\end{eqnarray}\)

---

\( a_{n+1}=-a_n+3 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}&=&-\left(\,a_n-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\)
　\(b_1=a_1-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}=1-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=-1\cdot b_n~,~b_1=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)、公比 \(-1\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot (-1)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(-1)^n\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,(-1)^n\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle\frac{\,3+(-1)^n\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

 
 

\(2a_{n+1}=a_n+1\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\( a_{n+1}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-1&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(a_n-1)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-1 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-1\)
　\(b_1=a_1-1=2-1=1\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot b_n~,~b_1=1 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1\cdot \left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-1 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-1&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}+1
\end{eqnarray}\)

数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.38 練習42

\({\small (1)}~\)

\( a_{n+1}=4a_n-6 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2&=&4\,(a_n-2)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-2 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-2\)
　\(b_1=a_1-2=5-2=3\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=4\cdot b_n~,~b_1=3 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(3\)、公比 \(4\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&3\cdot 4^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-2 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-2&=&3\cdot 4^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n&=&3\cdot 4^{n-1}+2
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)

\( a_{n+1}=2a_n+1 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+1&=&2\,(a_n+1)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n+1 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}+1\)
　\(b_1=a_1+1=1+1=2\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=2\cdot b_n~,~b_1=2 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(2\)、公比 \(2\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&2\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&2^n
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n+1 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n+1&=&2^n
\\[3pt]~~~a_n&=&2^n-1
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (3)}~\)

\( a_{n+1}=-2a_n+3 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-1&=&-2\,(a_n-1)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-1 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-1\)
　\(b_1=a_1-1=2-1=1\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=-2\cdot b_n~,~b_1=1 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(-2\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1\cdot (-2)^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&(-2)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-1 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-1&=&(-2)^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n&=&(-2)^{n-1}+1
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (4)}~\)

\( a_{n+1}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+1 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(a_n-2)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-2 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-2\)
　\(b_1=a_1-2=3-2=1\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot b_n~,~b_1=1 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1\cdot \left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-2 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-2&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&\left(\,\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}+2
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.34 問4

\({\small (1)}~\)

\( a_{n+1}=2a_n+3 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+3&=&2\,(a_n+3)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n+3 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}+3\)
　\(b_1=a_1+3=2+3=5\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=2\cdot b_n~,~b_1=5 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公比 \(2\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&5\cdot 2^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n+3 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n+3&=&5\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n&=&5\cdot 2^{n-1}-3
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)

\( a_{n+1}=-2a_n+12 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-4&=&-2\,(a_n-4)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-4 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-4\)
　\(b_1=a_1-4=5-4=1\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=-2\cdot b_n~,~b_1=1 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(-2\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1\cdot (-2)^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&(-2)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-4 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-4&=&(-2)^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n&=&(-2)^{n-1}+4
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.41 問題 10(2)

\(3a_{n+1}=2a_n+3\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}a_n+1
\end{eqnarray}\)

---

\( a_{n+1}=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}a_n+1 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-3&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\,(a_n-3)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-3 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-3\)
　\(b_1=a_1-3=1-3=-2\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot b_n~,~b_1=-2 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(-2\)、公比 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&-2\cdot \left(\,\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&-2\left(\,\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-3 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-3&=&-2\left(\,\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&3-2\left(\,\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.46 問4

\({\small (1)}~\)

\( a_{n+1}=3a_n-4 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2&=&3\,(a_n-2)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-2 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-2\)
　\(b_1=a_1-2=5-2=3\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=3\cdot b_n~,~b_1=3 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(3\)、公比 \(3\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&3\cdot 3^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&3^n
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-2 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-2&=&3^n
\\[3pt]~~~a_n&=&3^n+2
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)

\( a_{n+1}=-2a_n-9 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+3&=&-2\,(a_n+3)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n+3 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}+3\)
　\(b_1=a_1+3=2+3=5\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=-2\cdot b_n~,~b_1=5 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公比 \(-2\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&5\cdot (-2)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n+3 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n+3&=&5\cdot (-2)^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n&=&5\cdot (-2)^{n-1}-3
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.52 Training 22

\({\small (1)}~\)

\( a_{n+1}=2a_n+3 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+3&=&2\,(a_n+3)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n+3 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}+3\)
　\(b_1=a_1+3=2+3=5\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=2\cdot b_n~,~b_1=5 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公比 \(2\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&5\cdot 2^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n+3 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n+3&=&5\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n&=&5\cdot 2^{n-1}-3
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)\(2a_{n+1}=-a_n+6\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+3
\end{eqnarray}\)

---

\( a_{n+1}=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+3 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2&=&-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(a_n-2)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-2 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}-2\)
　\(b_1=a_1-2=9-2=7\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot b_n~,~b_1=7 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(7\)、公比 \(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&7\cdot \left(\,-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&7\left(\,-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-2 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-2&=&7\left(\,-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&7\left(\,-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}+2
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (3)}~\)\(a_{n+1}+a_n=2\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&-a_n+2
\end{eqnarray}\)

---

\( a_{n+1}=-a_n+2 \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-1&=&-\,(a_n-1)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n-1 \) とおくと、

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　\(b_{n+1}=a_{n+1}-1\)
　\(b_1=a_1-1=5-1=4\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=-1\cdot b_n~,~b_1=4 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(4\)、公比 \(-1\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&4\cdot (-1)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n-1 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n-1&=&4\cdot (-1)^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n&=&4\cdot (-1)^{n-1}+1
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (4)}~\)\(2a_{n+1}=5a_n+3\) を変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}a_n+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\( a_{n+1}=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}a_n+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} \) を式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+1&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\,(a_n+1)
\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( b_n=a_n+1 \) とおくと、

---

　\(b_{n+1}=a_{n+1}+1\)
　\(b_1=a_1+1=4+1=5\)

---

これより、

---

　\( b_{n+1}=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\cdot b_n~,~b_1=5 \)

---

数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公比 \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\) の等比数列より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&5\cdot \left(\,\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~&=&5\left(\,\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\( b_n=a_n+1 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a_n+1&=&5\left(\,\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~a_n&=&5\left(\,\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\,\right)^{n-1}-1
\end{eqnarray}\)