- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの等式の証明方法」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルの等式の証明方法
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの等式の証明方法
ベクトルの等式の証明では、次の性質を用いて解く。
\(\small [\,1\,]\) ベクトルの和 \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AC}\)
2つのベクトルの始点と終点がつながるとき、1つのベクトルで表すことができる。
\(\small [\,2\,]\) 零ベクトル \(\overrightarrow{\rm AA}=\overrightarrow{0}\)
始点と終点が一致するベクトルは零ベクトルとなる。
\(\small [\,3\,]\) 逆ベクトル \(\overrightarrow{\rm BA}=-\overrightarrow{\rm AB}\)
大きさが等しく、向きが反対であるベクトルは、逆ベクトルである。
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詳しい解説｜ベクトルの等式の証明方法
等式 \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}=\overrightarrow{0}\) の証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CA}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AA}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}=\overrightarrow{0}\) [終]
【別解】
[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CA}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AC}+(-\overrightarrow{\rm AC})
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}=\overrightarrow{0}\) [終]
