- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルと三角形の面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルと三角形の面積
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルと三角形の面積
\( \triangle{\rm OAB} \) において、\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b} \) とすると、
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2} \)
また、\( \overrightarrow{\rm OA}=(a_1~,~a_2)~,~\overrightarrow{\rm OB}=(b_1~,~b_2) \) とすると、\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,a_1\,b_2-a_2\,b_1\,| \)
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詳しい解説｜ベクトルと三角形の面積
\( \triangle{\rm OAB} \) において、ベクトル \( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\)\(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b} \) とするとき、この \( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) が \( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2-(\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,)^2} \) となることの証明方法は？また、ベクトル \( \overrightarrow{\rm OA}=(a_1~,~a_2)~,~\)\(\overrightarrow{\rm OB}=(b_1~,~b_2) \) としたとき、\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,a_1\,b_2-a_2\,b_1\,| \) となることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明] \( \angle{\rm AOB}=\theta~~(\,0°\lt \theta\lt 180°\,) \) とおくと、
\( \overrightarrow{a} \) と \( \overrightarrow{b} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\sin\theta
\end{eqnarray}\)
ここで、\( \sin\theta>0 \) より、\( \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} \) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cdot\sqrt{1-\cos^2\theta}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cdot\sqrt{1-\frac{\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2\left\{1-\frac{\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2\,}\right\}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2} \)
次に、\( \overrightarrow{\rm OA}=(a_1~,~a_2)~,~\overrightarrow{\rm OB}=(b_1~,~b_2) \) として、
\( |\,\overrightarrow{a}\,|^2={a_1}^2+{a_2}^2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|^2={b_1}^2+{b_2}^2 \)
\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1\,b_1+a_2\,b_2 \)
\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2} \) に代入すると、
したがって、\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,a_1\,b_2-a_2\,b_1\,| \) [終]
