このページは、「係数の和が一定の値の点の存在範囲」の練習問題アーカイブページとなります。
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係数の和が一定の値の点の存在範囲 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が \(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~s+t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(s {\small ~≧~} 0~,~ t {\small ~≧~} 0\) を満たしながら動くとき、点 \(\rm P\) の存在範囲を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.41 練習29
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.41 練習34
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.43 練習37
\(s+t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、右辺が \(1\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~s+t&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2s+2t&=&1
\end{eqnarray}\)
ここで、 \(2s=s^{\prime}~,~2t=t^{\prime}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~s^{\prime}+t^{\prime}&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(\displaystyle s=\frac{\,s^{\prime}\,}{\,2\,}~,~t=\frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\) となり、\(s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
次に、\(\overrightarrow{\rm OP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,s^{\prime}\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\) を満たす点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) をとると、
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\\[3pt]&&s^{\prime}+t^{\prime}=1~,~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
これより、点 \(\rm P\) の存在範囲は2点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) を結ぶ線分 \(\rm A^{\prime}B^{\prime}\) 上となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\) とおく。実数 \(s~,~t\) が \(s {\small ~≧~} 0~,~ t {\small ~≧~} 0~,~s+t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) を満たしながら変化するとき、点 \(\rm P\) の存在する範囲を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.47 Training 17
\(s+t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) より、右辺が \(1\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~s+t&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3s+3t&=&1
\end{eqnarray}\)
ここで、 \(3s=s^{\prime}~,~3t=t^{\prime}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~s^{\prime}+t^{\prime}&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(\displaystyle s=\frac{\,s^{\prime}\,}{\,3\,}~,~t=\frac{\,t^{\prime}\,}{\,3\,}\) となり、\(s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
次に、\(\overrightarrow{\rm OP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,s^{\prime}\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{\,t^{\prime}\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}\) を満たす点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) をとると、
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\\[3pt]&&s^{\prime}+t^{\prime}=1~,~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
これより、点 \(\rm P\) の存在範囲は2点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) を結ぶ線分 \(\rm A^{\prime}B^{\prime}\) 上となる
