- 数学C｜空間ベクトル「空間の点に関して対称な点」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間の点に関して対称な点
空間ベクトル 06☆空間の点 \( {\rm A}(2~,~1~,~-1) \) の点 \( {\rm B}(1~,~-1~,~-2) \) に関して対称な点 \(\rm C \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間の点に関して対称な点
Point：空間の点に関して対称な点
① 求めたい点の座標を文字で置く。
\( {\rm C}(x~,~y~,~z) \)
② 点 \(\rm A\) と点 \(\rm B\) に関して対称な点が点 \(\rm C\) より、線分 \(\rm AC\) の中点が点 \(\rm B\) となる条件を用いる。
線分 \(\rm AC\) の中点は、
\( \left(\displaystyle \frac{\,2+x\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1+y\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1+z\,}{\,2\,}\right) \)
これが、点 \( {\rm B}(1~,~-1~,~-2) \) と等しい。
空間での点に関して対称な点の座標は、
① 求めたい点の座標を文字で置く。
\( {\rm C}(x~,~y~,~z) \)
② 点 \(\rm A\) と点 \(\rm B\) に関して対称な点が点 \(\rm C\) より、線分 \(\rm AC\) の中点が点 \(\rm B\) となる条件を用いる。
線分 \(\rm AC\) の中点は、
\( \left(\displaystyle \frac{\,2+x\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1+y\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1+z\,}{\,2\,}\right) \)
これが、点 \( {\rm B}(1~,~-1~,~-2) \) と等しい。
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詳しい解説｜空間の点に関して対称な点
空間ベクトル 06☆
空間の点 \( {\rm A}(2~,~1~,~-1) \) の点 \( {\rm B}(1~,~-1~,~-2) \) に関して対称な点 \(\rm C \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
点 \(\rm C \) の座標を \( {\rm C}(x~,~y~,~z) \) とおくと、
点 \(\rm A\) と点 \(\rm B\) に関して対称な点が点 \(\rm C\) より、線分 \(\rm AC\) の中点が点 \(\rm B\) となるので、
線分 \(\rm AC\) の中点は、
\( \left(\displaystyle \frac{\,2+x\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1+y\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1+z\,}{\,2\,}\right) \)
これが点 \( {\rm B}(1~,~-1~,~-2) \) と等しいので、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2+x\,}{\,2\,}&=&1
\\[5pt]~~~2+x&=&2
\\[5pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1+y\,}{\,2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~1+y&=&-2
\\[5pt]~~~y&=&-3\end{eqnarray}\)
\(z\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-1+z\,}{\,2\,}&=&-2
\\[5pt]~~~-1+z&=&-4
\\[5pt]~~~z&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、点 \(\rm C\) の座標は、\( {\rm C}(0~,~-3~,~-3) \)
