- 数学C｜複素数平面「複素数の絶対値・偏角と極形式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜複素数の絶対値・偏角と極形式
複素数平面 09絶対値 \(2\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の複素数の求め方は？また、複素数 \(1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(-\sqrt{\,3\,}+i~,~\)\(3-\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(-1-i~,~\)\(2~,~\)\(-2~,~\)\(2i~,~\)\(-2i\) を極形式で表す方法は？（ただし、偏角 \(\theta\) が \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)）
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
複素数の絶対値・偏角と極形式
Point：複素数の絶対値・偏角と極形式
\(a=r\cos \theta~,~b=r\sin \theta\) より、複素数 \(z\) は、
極形式 \(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\)
この \(\theta\) を \(z\) の偏角といい、\(\theta=\arg z\) （アーギュメント）と表す。
複素数 \(z=a+bi\) を表す点を \({\rm P}\) とし、\({\rm OP}=r\) 、\({\rm OP}\) と実軸の正の部分がなす角を \(\theta\) とするとき、
\(a=r\cos \theta~,~b=r\sin \theta\) より、複素数 \(z\) は、
極形式 \(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\)
この \(\theta\) を \(z\) の偏角といい、\(\theta=\arg z\) （アーギュメント）と表す。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜複素数の絶対値・偏角と極形式
複素数平面 09絶対値 \(2\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の複素数の求め方は？また、複素数 \(1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(-\sqrt{\,3\,}+i~,~\)\(3-\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(-1-i~,~\)\(2~,~\)\(-2~,~\)\(2i~,~\)\(-2i\) を極形式で表す方法は？（ただし、偏角 \(\theta\) が \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)）
高校数学C｜複素数平面
絶対値 \(2\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+i \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}+i\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sqrt{\,3\,}+i\) となる
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) より、絶対値 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta~(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi)\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) となる
したがって、\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) となる
\(-\sqrt{\,3\,}+i\) より、絶対値 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(-\sqrt{\,3\,})^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta~(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi)\) は、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) となる
したがって、\(-\sqrt{\,3\,}+i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)\) となる
\(3-\sqrt{\,3\,}i\) より、絶対値 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,3^2+(-\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta~(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi)\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
※ 数式は横にスクロールできます。
\(\theta=\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) となる
したがって、\(3-\sqrt{\,3\,}i=2\sqrt{\,3\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\right)\) となる
\(-1-i\) より、絶対値 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(-1)^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta~(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi)\) は、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) となる
したがって、\(-1-i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\) となる
\(2\) より、
絶対値は \(2\) 、偏角は \(0\) となるので、
したがって、\(2=2(\cos 0+i\sin 0)\) となる
\(-2\) より、
絶対値は \(2\) 、偏角は \(\pi\) となるので、
したがって、\(-2=2(\cos \pi+i\sin \pi)\) となる
\(2i\) より、
絶対値は \(2\) 、偏角は \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) となるので、
したがって、\(2i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) となる
\(-2i\) より、
絶対値は \(2\) 、偏角は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) となるので、
したがって、\(-2i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\) となる
