- 数学C「複素数平面」の基本例題一覧ページです。
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複素数平面の基本
01｜複素数平面上の複素数の表す点
複素数平面 01複素数平面に点 \({\rm A}(3-2i)\)、点 \({\rm B}(-1)\)、点 \({\rm C}(4i)\) を図示する方法は？
02｜複素数の実数倍と一直線の条件
複素数平面 02\( \alpha=1-2i~,~\)\( \beta=a+6i \) のとき、3点 \( 0~,~\)\(\alpha~,~\)\(\beta \) が一直線上にあるときの定数 \( a \) の値の求め方は？
03｜複素数の加法・減法とその図示
複素数平面 03\( \alpha=1-2i~,~\)\( \beta=2+3i \) のとき、複素数 \( \alpha+\beta~,~\)\( \alpha-\beta~,~\)\( -2\alpha+\beta \) を図示する方法は？
04｜共役な複素数と複素数平面
複素数平面 04複素数 \( z=1-2i \) の表す点と実軸、原点、虚軸に関して対称な点を表す複素数の求め方は？また、複素数 \( \alpha \) において、\( \alpha \) が実数 or 純虚数となる条件の証明方法は？
05｜方程式の解と共役な複素数
複素数平面 05複素数 \( \alpha \) が方程式 \( ax^2+bx+c=0 \)（\( a~,~b~,~c \) は実数）の解であるとき \( \overline{\alpha} \)（共役な複素数）も解であることを示す方法は？
06｜複素数の絶対値と2点間の距離
複素数平面 06複素数 \(1-2i~,~\)\(4+3i~,~\)\(-1~,~\)\(4i\) の絶対値の計算方法は？また、\(2\) 点 \(\alpha=1-2i~,~\)\(\beta=4+3i\) 間の距離の計算方法は？
07｜複素数の絶対値の2乗|α|²を用いた証明
複素数平面 07\(|\, \alpha \,|=1\) のとき、\(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\) が実数であることの証明方法は？
08☆｜複素数の絶対値を用いた計算
複素数平面 08☆\(\alpha=1+i\) のとき、\(|\, \alpha+1 \,|~,~\)\(\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|\) のそれぞれの値の求め方は？また、\(|\, \beta \,|=3~,~\)\(|\, \beta+2 \,|=2\) のとき、\(\beta+\overline{\beta}\) の値の求め方は？
複素数の極形式
09｜複素数の絶対値・偏角と極形式
複素数平面 09絶対値 \(2\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の複素数の求め方は？また、複素数 \(1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(-\sqrt{\,3\,}+i~,~\)\(3-\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(-1-i~,~\)\(2~,~\)\(-2~,~\)\(2i~,~\)\(-2i\) を極形式で表す方法は？（ただし、偏角 \(\theta\) が \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)）
10｜複素数の極形式と乗法・除法
複素数平面 10\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\beta=2+2i\) のとき、\(\alpha\,\beta\) と \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) を極形式で表す方法は？また、\(|\,\alpha\,\beta\,|~,~\)\(\left|\,\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\,\right|~,~\)\(|\,\alpha\,|^2\) のそれぞれの値の求め方は？
11｜共役な複素数・逆数の極形式
複素数平面 11複素数 \(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) のとき、\(\overline{z}~,~\)\(-z~,~\)\(-\overline{z}\) のそれぞれの極形式での表し方は？また、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) の極形式での表し方は？
12｜複素数の積・商と点の回転
複素数平面 12点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z~,~\)\((3-\sqrt{\,3\,}i)z~,~\)\(-iz~,~\)\(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) はそれぞれ点 \(z\) をどのように移動した点であるかの調べ方は？
13｜回転移動後の複素数の点
複素数平面 13点 \(1+\sqrt{\,3\,}i\) を原点 \({\rm O}\) を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させた点を複素数で表す方法は？
14｜複素数の点の回転と正三角形
複素数平面 14複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}(0)~,~\)\({\rm A}(1+i)~,~\)\({\rm B}\) が正三角形となる点 \({\rm B}\) を複素数で表す方法は？
15｜複素数の点を中心とした点の回転
複素数平面 15\(\alpha=2-3i~,~\)\(\beta=1+4i\) のとき、点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心として、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点を表す複素数 \(\gamma\) の求め方は？
16☆｜複素数平面上の3点がつくる正三角形
複素数平面 16☆複素数平面上の \(2\) 点 \({\rm A}(1)~,~\)\({\rm B}(3+4i)\) において、\({\rm AB}\) を \(1\) 辺とする正三角形をつくるとき、点 \({\rm C}\) を表す複素数の求め方は？
ド・モアブルの定理
17｜複素数のn乗とド・モアブルの定理
複素数平面 17\((1+\sqrt{\,3\,}i)^9~,~\)\((2-2i)^5~,~\)\((\sqrt{\,3\,}-i)^{-6}\) のド・モアブルの定理を使った計算方法は？
18｜1のn乗根と複素数平面
複素数平面 18\(1\) の \(4\) 乗根、\(6\) 乗根、\(8\) 乗根をそれぞれ複素数平面上に図示する方法は？
19｜方程式の解と極形式
複素数平面 19方程式 \(z^2=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(z^3=i~,~\)\(z^4=-16\) の解の求め方は？
20｜1のn乗根とzⁿ-1の因数分解
複素数平面 20\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) のとき、\(z^4+z^3+z^2+z+1\) の値の求め方は？
21☆｜極形式の商とド・モアブルの定理
複素数平面 21☆\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^6~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1-\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^{12}\) のド・モアブルの定理を使った計算方法は？
22☆｜ド・モアブルの定理と実数となる条件
複素数平面 22☆\(\left(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}{\,1+i\,}\right)^n\) が実数となる最小の自然数 \(n\) の値の求め方は？
複素数平面と図形
23｜内分点・外分点・重心を表す複素数
複素数平面 23複素数平面上の \(2\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)\) を結ぶ線分を \(2:3\) に内分or外分する点を表す複素数の求め方は？また、複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)~,~\)\({\rm C}(3+2i)\) を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) を表す複素数の求め方は？
24｜複素数の方程式の表す図形
複素数平面 24方程式 \(|\, z \,|=3~,~\)\(|\, z+2-3i \,|=1~,~\)\((z-i)(\overline{z}+i)=4~,~\)\(|\, z-1 \,|=|\, z-2i \,|~,~\)\(|\, z+2-3i \,|=|\, z+i \,|\) を満たす点 \(z\) 全体の集合はどのような図形を表すか？
25｜方程式m|z-α|=|z-β|の表す図形
複素数平面 25方程式 \(2|\, z-i \,|=|\, z+2i \,|\) を満たす点 \(z\) 全体の集合はどのような図形を表すか？
26｜動点zとω=αz+βの表す図形
複素数平面 26\(\omega=2+iz\) として、点 \(z\) が原点 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(1\) の円上を動くとき、点 \(\omega\) はどのような図形を描くか？
27☆｜動点zとω=1/zの表す図形
複素数平面 27☆点 \(z\) が点 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、\(\omega=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) を満たす点 \(\omega\) はどのような図形を描くか？
複素数平面上の角
28｜複素数平面上の半直線のなす角
複素数平面 28\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=2+6i\) のとき、\(\angle \beta\alpha\gamma\) の値の求め方は？（ただし、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\)）
29｜複素数平面上の一直線・垂直の条件
複素数平面 29\(3\) 点 \({\rm A}(1+i)~,~\)\({\rm B}(3-2i)~,~\)\({\rm C}(x+2i)\) が一直線上にあるとき、または \(2\) 直線 \({\rm AB}\) と \({\rm AC}\) が垂直に交わるときの \(x\) の値の求め方は？
30｜複素数の等式の三角形の形状
複素数平面 30異なる \(3\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)~,~\)\({\rm C}(\gamma)\) において、\(\gamma=(1+\sqrt{\,3\,}i)\beta-\sqrt{\,3\,}i\alpha\) が成り立つとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の形状の調べ方は？
31☆｜複素数平面上の三角形の面積
複素数平面 31☆複素数平面上の \(3\) 点 \(0~,~\)\(\alpha=(-1+\sqrt{\,3\,})+(1+\sqrt{\,3\,})i~,~\)\(\beta=\sqrt{\,3\,}+i\) を頂点とする三角形について、複素数 \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) の値の求め方は？また、この三角形の面積の求め方は？
32☆｜α,βの2次式の等式と三角形の形状
複素数平面 32☆等式 \(\alpha^2-2\alpha\beta+2\beta^2=0\) を満たす \(0\) でない複素数 \(\alpha~,~\beta\) について、\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) の値の求め方は？また、複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}(0)~,~\)\({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)\) を頂点とする三角形 \({\rm OAB}\) の形状の調べ方は？
