- 数学C｜複素数平面「複素数のn乗とド・モアブルの定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数のn乗とド・モアブルの定理
複素数平面 17\((1+\sqrt{\,3\,}i)^9~,~\)\((2-2i)^5~,~\)\((\sqrt{\,3\,}-i)^{-6}\) のド・モアブルの定理を使った計算方法は？
高校数学C｜複素数平面
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複素数のn乗とド・モアブルの定理
解法のPoint
複素数のn乗とド・モアブルの定理
Point：複素数のn乗とド・モアブルの定理整数 \(n\) について、
ド・モアブルの定理
\((\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)
① \(a+bi\) を極形式で表す。
\(a+bi=r(\cos \theta+i\sin \theta)\)
② ド・モアブルの定理より、\((a+bi)^n\) の値を求める。
\((a+bi)^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)
ド・モアブルの定理
\((\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)
これより、\((a+bi)^n\) の値は、
① \(a+bi\) を極形式で表す。
\(a+bi=r(\cos \theta+i\sin \theta)\)
② ド・モアブルの定理より、\((a+bi)^n\) の値を求める。
\((a+bi)^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)
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詳しい解説｜複素数のn乗とド・モアブルの定理
複素数平面 17\((1+\sqrt{\,3\,}i)^9~,~\)\((2-2i)^5~,~\)\((\sqrt{\,3\,}-i)^{-6}\) のド・モアブルの定理を使った計算方法は？
高校数学C｜複素数平面
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,1+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{\,3\,}i)^9&=&2^9 \cdot \left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)^9
\\[5pt]~~~&=&512 \cdot \left(\cos 9 \cdot \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin 9 \cdot \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&512(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)
\\[5pt]~~~&=&512(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-512\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&512 \cdot \left(\cos 9 \cdot \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin 9 \cdot \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&512(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)
\\[5pt]~~~&=&512(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-512\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(-512\) となる
\(2-2i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,2-2i\,|&=&\sqrt{\,2^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,-2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、偏角は \(\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
よって、
\(2-2i=2\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}\)
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(2-2i)^5&=&(2\sqrt{\,2\,})^5 \cdot \left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}^5
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,} \cdot \left\{\cos 5 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin 5 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&-128+128i\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,} \cdot \left\{\cos 5 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin 5 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&-128+128i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(-128+128i\) となる
\(\sqrt{\,3\,}-i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\sqrt{\,3\,}-i\,|&=&\sqrt{\,(\sqrt{\,3\,})^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
よって、
\(\sqrt{\,3\,}-i=2\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\right\}\)
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{\,3\,}-i)^{-6}&=&2^{-6} \cdot \left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\right\}^{-6}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,} \cdot \left\{\cos (-6) \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)+i\sin (-6) \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}(\cos \pi+i\sin \pi)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,} \cdot \left\{\cos (-6) \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)+i\sin (-6) \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}(\cos \pi+i\sin \pi)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\) となる
