- 数学C｜複素数平面「1のn乗根と複素数平面」の基本例題解説ページです。
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問題｜1のn乗根と複素数平面
複素数平面 18\(1\) の \(4\) 乗根、\(6\) 乗根、\(8\) 乗根をそれぞれ複素数平面上に図示する方法は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
1のn乗根と複素数平面
Point：1のn乗根と複素数平面自然数 \(n\) について、\(1\) の \(n\) 乗根は、
\(z_k=\cos \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,n\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,n\,}\)
\((k=0~,~1~,~2~,~\cdots~,~n-1)\)
これらの \(n\) 個の複素数となる。
また、これらの \(n\) 個の複素数は単位円周上を \(n\) 等分した \(n\) 個の点を頂点とし、\(z_0=1\) を \(1\) つの頂点とする正 \(n\) 角形の頂点となる。
\(z_k=\cos \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,n\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,n\,}\)
\((k=0~,~1~,~2~,~\cdots~,~n-1)\)
これらの \(n\) 個の複素数となる。
また、これらの \(n\) 個の複素数は単位円周上を \(n\) 等分した \(n\) 個の点を頂点とし、\(z_0=1\) を \(1\) つの頂点とする正 \(n\) 角形の頂点となる。
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詳しい解説｜1のn乗根と複素数平面
複素数平面 18\(1\) の \(4\) 乗根、\(6\) 乗根、\(8\) 乗根をそれぞれ複素数平面上に図示する方法は？
高校数学C｜複素数平面
\(1\) の \(4\) 乗根は、
\(z_k=\cos \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,4\,}\)
\((k=0~,~1~,~2~,~3)\)
これより、
\(k=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_0&=&\cos 0+i\sin 0
\\[3pt]~~~&=&1+i \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(k=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_1&=&\cos \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0+i \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&i\end{eqnarray}\)
\(k=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_2&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 2\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 2\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \pi+i\sin \pi
\\[5pt]~~~&=&-1+i \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\(k=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_3&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 3\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 3\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&0+i \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&-i\end{eqnarray}\)
したがって、\(1~,~i~,~-1~,~-i\) となる
\(1\) の \(6\) 乗根は、
\(z_k=\cos \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,6\,}\)
\((k=0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5)\)
これより、
\(k=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_0&=&\cos 0+i\sin 0
\\[3pt]~~~&=&1+i \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(k=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_1&=&\cos \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(k=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_2&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 2\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 2\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(k=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_3&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 3\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 3\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \pi+i\sin \pi
\\[5pt]~~~&=&-1+i \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\(k=4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_4&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 4\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 4\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(k=5\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_5&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 5\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 5\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i~,~\)
\(-1~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\) となる
\(1\) の \(8\) 乗根は、
\(z_k=\cos \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,8\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,8\,}\)
\((k=0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7)\)
これより、
\(k=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_0&=&\cos 0+i\sin 0
\\[3pt]~~~&=&1+i \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(k=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_1&=&\cos \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,8\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(k=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_2&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 2\pi\,}{\,8\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 2\pi\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&0+i \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&i\end{eqnarray}\)
\(k=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_3&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 3\pi\,}{\,8\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 3\pi\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(k=4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_4&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 4\pi\,}{\,8\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 4\pi\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \pi+i\sin \pi
\\[5pt]~~~&=&-1+i \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
\(k=5\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_5&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 5\pi\,}{\,8\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 5\pi\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(k=6\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_6&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 6\pi\,}{\,8\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 6\pi\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&0+i \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&-i\end{eqnarray}\)
\(k=7\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z_7&=&\cos \displaystyle \frac{\,2 \cdot 7\pi\,}{\,8\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2 \cdot 7\pi\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(1~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i~,~\)
\(i~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i~,~\)
\(-1~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i~,~\)
\(-i~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\) となる
