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問題｜方程式の解と極形式
複素数平面 19方程式 \(z^2=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(z^3=i~,~\)\(z^4=-16\) の解の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
方程式の解と極形式
Point：方程式の解と極形式
① \(z\) を極形式で表して、\(z^n\) をド・モアブルの定理を用いて開く。
\(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) より、
\(z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)
② 右辺 \(a+bi\) を極形式で表す。
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
③ 両辺の絶対値と偏角を比較し、\(r\) の値と、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) における \(\theta\) の値を求める。
\(r^2=2~,~2\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+2k\pi\) \((k\) は整数\()\)
これより、\(r=\sqrt{\,2\,}~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
④ \(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) に代入して、解を求める。
方程式 \(z^n=a+bi\) の解は、
① \(z\) を極形式で表して、\(z^n\) をド・モアブルの定理を用いて開く。
\(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) より、
\(z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)
② 右辺 \(a+bi\) を極形式で表す。
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
③ 両辺の絶対値と偏角を比較し、\(r\) の値と、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) における \(\theta\) の値を求める。
\(r^2=2~,~2\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+2k\pi\) \((k\) は整数\()\)
これより、\(r=\sqrt{\,2\,}~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
④ \(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) に代入して、解を求める。
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詳しい解説｜方程式の解と極形式
複素数平面 19方程式 \(z^2=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(z^3=i~,~\)\(z^4=-16\) の解の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
\(z^2=1+\sqrt{\,3\,}i\) について、\(z\) を極形式で表すと、
\(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
これより、
\(z^2=r^2(\cos 2\theta+i\sin 2\theta)\) \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を極形式で表すと、
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,1+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) \(\cdots {\small [\,3\,]}\)
これより、\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) より、
\(r^2(\cos 2\theta+i\sin 2\theta)=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
両辺の絶対値と偏角を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
r^2=2\\
2\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+2k\pi
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \((k\) は整数\()\)
\(r \gt 0\) より、\(r=\sqrt{\,2\,}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~2\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+2k\pi
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+k\pi\end{eqnarray}\)
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) の範囲で \(k=0~,~1\) より、
\(k=0\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+0 \cdot \pi=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
\(k=1\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+1 \cdot \pi=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(r=\sqrt{\,2\,}~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+i \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(r=\sqrt{\,2\,}~,~\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left\{-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+i \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(z=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\) となる
\(z^3=i\) について、\(z\) を極形式で表すと、
\(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
これより、
\(z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)\) \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、\(i\) を極形式で表すと、
\(i=1 \cdot \left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) \(\cdots {\small [\,3\,]}\)
これより、\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) より、
\(r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)=\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
両辺の絶対値と偏角を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
r^3=1\\
3\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+2k\pi
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \((k\) は整数\()\)
\(r \gt 0\) より、\(r=1\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~3\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+2k\pi
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}k\pi\end{eqnarray}\)
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) の範囲で \(k=0~,~1~,~2\) より、
\(k=0\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
\(k=1\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
\(k=2\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(r=1~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(r=1~,~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(r=1~,~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&0+i \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&-i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(z=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i~,~-i\) となる
\(z^4=-16\) について、\(z\) を極形式で表すと、
\(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
これより、
\(z^4=r^4(\cos 4\theta+i\sin 4\theta)\) \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、\(-16\) を極形式で表すと、
\(-16=16(\cos \pi+i\sin \pi)\) \(\cdots {\small [\,3\,]}\)
これより、\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) より、
\(r^4(\cos 4\theta+i\sin 4\theta)=16(\cos \pi+i\sin \pi)\)
両辺の絶対値と偏角を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
r^4=16\\
4\theta=\pi+2k\pi
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \((k\) は整数\()\)
\(r \gt 0\) より、\(r=2\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~4\theta&=&\pi+2k\pi
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\pi\end{eqnarray}\)
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) の範囲で \(k=0~,~1~,~2~,~3\) より、
\(k=0\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\(k=1\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\pi=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
\(k=2\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\pi=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
\(k=3\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&-\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&-\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(z=\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,2\,}i~,~-\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,2\,}i~,~\)
\(-\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,2\,}i~,~\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,2\,}i\) となる
