- 数学C｜複素数平面「1のn乗根とzⁿ-1の因数分解」の基本例題解説ページです。
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問題｜1のn乗根とzⁿ-1の因数分解
複素数平面 20\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) のとき、\(z^4+z^3+z^2+z+1\) の値の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
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1のn乗根とzⁿ-1の因数分解
解法のPoint
1のn乗根とzⁿ-1の因数分解
Point：1のn乗根とzⁿ-1の因数分解\(1\) の \(n\) 乗根を用いた式の値は、
① ド・モアブルの定理を用いて、\(z^5=1\) を示す。
\(z^5=\cos 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi=1\)
② \(z^5-1\) を因数分解し、\(z^4+z^3+z^2+z+1\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~z^5-1&=&0\\[3pt]~~~(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(z\ne1\) より、\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\)
自然数 \(n\) について、
\(x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1)\)
① ド・モアブルの定理を用いて、\(z^5=1\) を示す。
\(z^5=\cos 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi=1\)
② \(z^5-1\) を因数分解し、\(z^4+z^3+z^2+z+1\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~z^5-1&=&0\\[3pt]~~~(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(z\ne1\) より、\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\)
■ \(x^n-1\) の因数分解
自然数 \(n\) について、
\(x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1)\)
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詳しい解説｜1のn乗根とzⁿ-1の因数分解
複素数平面 20\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) のとき、\(z^4+z^3+z^2+z+1\) の値の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) について、
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~z^5&=&\left(\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\right)^5
\\[5pt]~~~&=&\cos 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\cos 2\pi+i\sin 2\pi
\\[5pt]~~~&=&1+i \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、
\(z^5-1=0\)
因数分解すると、
\((z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0\)
\(z\ne1\) より、
\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\)
したがって、\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\) となる
