- 数学C｜複素数平面「極形式の商とド・モアブルの定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜極形式の商とド・モアブルの定理
複素数平面 21☆\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^6~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1-\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^{12}\) のド・モアブルの定理を使った計算方法は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
極形式の商とド・モアブルの定理
Point：極形式の商とド・モアブルの定理
① 分母と分子の複素数をそれぞれ極形式で表し、商を極形式で求める。
② ド・モアブルの定理より、\(n\) 乗の値を求める。
複素数の商の \(n\) 乗の値は、
① 分母と分子の複素数をそれぞれ極形式で表し、商を極形式で求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1-\sqrt{\,3\,}i\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\,}{\,2\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
② ド・モアブルの定理より、\(n\) 乗の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1-\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^{12}&=&\left\{\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\right\}^{12}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)^{12}(\cos 7\pi+i\sin 7\pi)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)^{12}(\cos 7\pi+i\sin 7\pi)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜極形式の商とド・モアブルの定理
複素数平面 21☆\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^6~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1-\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^{12}\) のド・モアブルの定理を使った計算方法は？
高校数学C｜複素数平面
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を極形式で表すと、
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,1+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^6&=&\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}^6
\\[5pt]~~~&=&\cos 6 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin 6 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\cos (-2\pi)+i\sin (-2\pi)
\\[5pt]~~~&=&1+i \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\cos 6 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin 6 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\cos (-2\pi)+i\sin (-2\pi)
\\[5pt]~~~&=&1+i \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^6=1\) となる
\(1+i\) を極形式で表すと、
\(1+i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+i\,|&=&\sqrt{\,1^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
よって、
\(1+i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
また、\(1-\sqrt{\,3\,}i\) を極形式で表すと、
\(1-\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1-\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,1^2+(-\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(1-\sqrt{\,3\,}i=2\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1-\sqrt{\,3\,}i\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\,}{\,2\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left[\cos \left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}+i\sin \left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}\right]
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left[\cos \left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}+i\sin \left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}\right]
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1-\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^{12}&=&\left\{\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\right\}^{12}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)^{12}\left(\cos 12 \cdot \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin 12 \cdot \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}(\cos 7\pi+i\sin 7\pi)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)^{12}\left(\cos 12 \cdot \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin 12 \cdot \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}(\cos 7\pi+i\sin 7\pi)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1+i\,}{\,1-\sqrt{\,3\,}i\,}\right)^{12}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\) となる
