- 数学C｜複素数平面「ド・モアブルの定理と実数となる条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜ド・モアブルの定理と実数となる条件
複素数平面 22☆\(\left(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}{\,1+i\,}\right)^n\) が実数となる最小の自然数 \(n\) の値の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
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ド・モアブルの定理と実数となる条件
解法のPoint
ド・モアブルの定理と実数となる条件
Point：ド・モアブルの定理と実数となる条件複素数の商の \(n\) 乗が実数となる条件は、
① 分母と分子の複素数をそれぞれ極形式で表し、商を極形式で求める。
\(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}{\,1+i\,}=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\)
② ド・モアブルの定理より、\(n\) 乗の値を求める。
\((\sqrt{\,2\,})^n\left(\cos \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)\)
③ 実数となる条件は虚部が \(0\) の場合より、自然数 \(n\) の値を求める。
実数となるので、\(\sin \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}=0\)
① 分母と分子の複素数をそれぞれ極形式で表し、商を極形式で求める。
\(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}{\,1+i\,}=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\)
② ド・モアブルの定理より、\(n\) 乗の値を求める。
\((\sqrt{\,2\,})^n\left(\cos \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)\)
③ 実数となる条件は虚部が \(0\) の場合より、自然数 \(n\) の値を求める。
実数となるので、\(\sin \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}=0\)
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詳しい解説｜ド・モアブルの定理と実数となる条件
複素数平面 22☆\(\left(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}{\,1+i\,}\right)^n\) が実数となる最小の自然数 \(n\) の値の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を極形式で表すと、
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,1+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
また、\(1+i\) を極形式で表すと、
\(1+i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+i\,|&=&\sqrt{\,1^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
よって、
\(1+i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
これより、極形式の商より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}{\,1+i\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\,}{\,\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left\{\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left\{\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}i\,}{\,1+i\,}\right)^n&=&\left\{\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}^n
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^n\left(\cos \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^n\left(\cos \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この式が実数となるのは、虚部が \(0\) の場合より、
\(\sin \displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}=0\)
よって、\(k\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}&=&k\pi
\\[5pt]~~~n&=&12k\end{eqnarray}\)
最小の自然数 \(n\) となるのは \(k=1\) のときより、\(n=12\)
したがって、\(n=12\) となる
