このページは、「ド・モアブルの定理と実数となる条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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ド・モアブルの定理と実数となる条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01複素数 \(z=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+i\,}{\,1+i\,}\) について、\(z^n\) が実数となる最小の自然数 \(n\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.147 練習問題B 8
\(\sqrt{\,3\,}+i\) を極形式で表すと、
\(\sqrt{\,3\,}+i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\sqrt{\,3\,}+i\,|&=&\sqrt{\,(\sqrt{\,3\,})^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
よって、
\(\sqrt{\,3\,}+i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\)
また、\(1+i\) を極形式で表すと、
\(1+i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+i\,|&=&\sqrt{\,1^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
よって、
\(1+i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
これより、極形式の商より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+i\,}{\,1+i\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\,}{\,\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left\{\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left\{\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+i\,}{\,1+i\,}\right)^n&=&\left[\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\right]^n
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^n\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^n\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この式が実数となるのは、虚部が \(0\) の場合より、
\(\sin \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)=0\)
よって、\(k\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}&=&k\pi
\\[5pt]~~~n&=&-12k\end{eqnarray}\)
最小の自然数 \(n\) となるのは \(k=-1\) のときより、\(n=12\)
したがって、\(n=12\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(z=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+i\,}{\,1+i\,}\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~z^8\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~z^n\) が実数となる最小の正の整数 \(n\) を求めよ。
\({\small (1)}~z^8\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~z^n\) が実数となる最小の正の整数 \(n\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学C[702] p.142 Level Up 4
\(\sqrt{\,3\,}+i\) を極形式で表すと、
\(\sqrt{\,3\,}+i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\sqrt{\,3\,}+i\,|&=&\sqrt{\,(\sqrt{\,3\,})^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
よって、
\(\sqrt{\,3\,}+i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\)
また、\(1+i\) を極形式で表すと、
\(1+i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+i\,|&=&\sqrt{\,1^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
よって、
\(1+i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
これより、極形式の商より、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+i\,}{\,1+i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\,}{\,\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left\{\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\,}{\,\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left\{\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (1)}~\)について、ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~z^8&=&\left[\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\right]^8
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^8\left\{\cos 8 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin 8 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&16\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&16\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&-8-8\sqrt{\,3\,}i\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^8\left\{\cos 8 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin 8 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&16\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&16\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&-8-8\sqrt{\,3\,}i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(z^8=-8-8\sqrt{\,3\,}i\) となる
\({\small (2)}~\)について、ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~z^n&=&\left[\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\right]^n
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^n\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^n\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この式が実数となるのは、虚部が \(0\) の場合より、
\(\sin \left(-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}\right)=0\)
よって、\(k\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,n\pi\,}{\,12\,}&=&k\pi
\\[5pt]~~~n&=&-12k\end{eqnarray}\)
最小の正の整数 \(n\) となるのは \(k=-1\) のときより、\(n=12\)
したがって、\(n=12\) となる
