- 数学C｜複素数平面「内分点・外分点・重心を表す複素数」の基本例題解説ページです。
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問題｜内分点・外分点・重心を表す複素数
複素数平面 23複素数平面上の \(2\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)\) を結ぶ線分を \(2:3\) に内分or外分する点を表す複素数の求め方は？また、複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)~,~\)\({\rm C}(3+2i)\) を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) を表す複素数の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
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内分点・外分点・重心を表す複素数
解法のPoint
内分点・外分点・重心を表す複素数
Point：内分点・外分点・重心を表す複素数複素数平面上の \(2\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)\) について、
線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に内分する点を表す複素数は、
\(\displaystyle \frac{\,n\alpha+m\beta\,}{\,m+n\,}\)
特に線分 \({\rm AB}\) の中点は、
\(\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,-n\alpha+m\beta\,}{\,m-n\,}\)
また、\(3\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)~,~\)\({\rm C}(\gamma)\) を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) を表す複素数は、
\(\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta+\gamma\,}{\,3\,}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に内分する点を表す複素数は、
\(\displaystyle \frac{\,n\alpha+m\beta\,}{\,m+n\,}\)
特に線分 \({\rm AB}\) の中点は、
\(\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に外分する点を表す複素数は、
\(\displaystyle \frac{\,-n\alpha+m\beta\,}{\,m-n\,}\)
また、\(3\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)~,~\)\({\rm C}(\gamma)\) を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) を表す複素数は、
\(\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta+\gamma\,}{\,3\,}\)
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詳しい解説｜内分点・外分点・重心を表す複素数
複素数平面 23複素数平面上の \(2\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)\) を結ぶ線分を \(2:3\) に内分or外分する点を表す複素数の求め方は？また、複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)~,~\)\({\rm C}(3+2i)\) を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) を表す複素数の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点は、
内分点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3(2-3i)+2(1+4i)\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6-9i+2+8i\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8-i\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}i\) となる
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点は、
外分点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3(2-3i)-2(1+4i)\,}{\,-2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6-9i-2-8i\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&4-17i\end{eqnarray}\)
したがって、\(4-17i\) となる
三角形 \({\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\)は、
重心の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,(2-3i)+(1+4i)+(3+2i)\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2+1+3)+(-3+4+2)i\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6+3i\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&2+i\end{eqnarray}\)
したがって、\(2+i\) となる
