- 数学C｜複素数平面「複素数の方程式の表す図形」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の方程式の表す図形
複素数平面 24方程式 \(|\, z \,|=3~,~\)\(|\, z+2-3i \,|=1~,~\)\((z-i)(\overline{z}+i)=4~,~\)\(|\, z-1 \,|=|\, z-2i \,|~,~\)\(|\, z+2-3i \,|=|\, z+i \,|\) を満たす点 \(z\) 全体の集合はどのような図形を表すか？
高校数学C｜複素数平面
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複素数の方程式の表す図形
解法のPoint
複素数の方程式の表す図形
Point：複素数の方程式の表す図形■ \(|\, z-\alpha \,|=r\)
点 \(\alpha\) を中心、半径 \(r\) の円を表す。
特に \(|\, z \,|=r\) は、
原点を中心、半径 \(r\) の円を表す。
\(2\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)\) を結ぶ
線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す。
点 \(\alpha\) を中心、半径 \(r\) の円を表す。
特に \(|\, z \,|=r\) は、
原点を中心、半径 \(r\) の円を表す。
■ \(|\, z-\alpha \,|=|\, z-\beta \,|\)
\(2\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)\) を結ぶ
線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す。
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詳しい解説｜複素数の方程式の表す図形
複素数平面 24方程式 \(|\, z \,|=3~,~\)\(|\, z+2-3i \,|=1~,~\)\((z-i)(\overline{z}+i)=4~,~\)\(|\, z-1 \,|=|\, z-2i \,|~,~\)\(|\, z+2-3i \,|=|\, z+i \,|\) を満たす点 \(z\) 全体の集合はどのような図形を表すか？
高校数学C｜複素数平面
方程式 \(|\, z \,|=3\) は、
原点を中心、半径 \(3\) の円を表す
方程式 \(|\, z+2-3i \,|=1\) は、
\(|\, z-(-2+3i) \,|=1\)
これより、点 \(-2+3i\) を中心、半径 \(1\) の円を表す
方程式 \((z-i)(\overline{z}+i)=4\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~(z-i)(\overline{z}+i)&=&4
\\[3pt]~~~(z-i)(\overline{z-i})&=&4
\\[3pt]~~~|\, z-i \,|^2&=&4\end{eqnarray}\)
これより、\(|\, z-i \,|=2\) より、点 \(i\) を中心、半径 \(2\) の円を表す
方程式 \(|\, z-1 \,|=|\, z-2i \,|\) は、
\(2\) 点 \({\rm A}(1)~,~\)\({\rm B}(2i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す
方程式 \(|\, z+2-3i \,|=|\, z+i \,|\) は、
\(|\, z-(-2+3i) \,|=|\, z-(-i) \,|\)
これより、\(2\) 点 \({\rm A}(-2+3i)~,~\)\({\rm B}(-i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す
