- 数学C｜複素数平面「方程式m|z-α|=|z-β|の表す図形」の基本例題解説ページです。
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問題｜方程式m|z-α|=|z-β|の表す図形
複素数平面 25方程式 \(2|\, z-i \,|=|\, z+2i \,|\) を満たす点 \(z\) 全体の集合はどのような図形を表すか？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
方程式m|z-α|=|z-β|の表す図形
Point：方程式m|z-α|=|z-β|の表す図形
① この方程式の両辺を \(2\) 乗して、絶対値の \(2\) 乗 \(|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}\) の計算をする。
\(\begin{eqnarray}~~~2^2|\, z-i \,|^2&=&|\, z+2i \,|^2
\\[3pt]~~~4(z-i)\overline{(z-i)}&=&(z+2i)\overline{(z+2i)}\end{eqnarray}\)
② 式を整理し、円を表す方程式の形にする。
方程式 \(m|\, z-\alpha \,|=|\, z-\beta \,|\) は、
① この方程式の両辺を \(2\) 乗して、絶対値の \(2\) 乗 \(|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}\) の計算をする。
\(\begin{eqnarray}~~~2^2|\, z-i \,|^2&=&|\, z+2i \,|^2
\\[3pt]~~~4(z-i)\overline{(z-i)}&=&(z+2i)\overline{(z+2i)}\end{eqnarray}\)
② 式を整理し、円を表す方程式の形にする。
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詳しい解説｜方程式m|z-α|=|z-β|の表す図形
複素数平面 25方程式 \(2|\, z-i \,|=|\, z+2i \,|\) を満たす点 \(z\) 全体の集合はどのような図形を表すか？
高校数学C｜複素数平面
\(2|\, z-i \,|=|\, z+2i \,|\) の両辺を \(2\) 乗すると、\(|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2^2|\, z-i \,|^2&=&|\, z+2i \,|^2
\\[3pt]~~~4(z-i)\overline{(z-i)}&=&(z+2i)\overline{(z+2i)}
\\[3pt]~~~4(z-i)(\overline{z}+i)&=&(z+2i)(\overline{z}-2i)
\\[3pt]~~~4(z\overline{z}+iz-i\overline{z}-i^2)&=&z\overline{z}-2iz+2i\overline{z}-4i^2
\\[3pt]~~~4z\overline{z}+4iz-4i\overline{z}+4&=&z\overline{z}-2iz+2i\overline{z}+4
\\[3pt]~~~3z\overline{z}+6iz-6i\overline{z}&=&0
\\[3pt]~~~z\overline{z}+2iz-2i\overline{z}&=&0\end{eqnarray}\)
\(z\) で整理し、\(\overline{z}+2i\) をつくり因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overline{z}+2i)z-2i\overline{z}&=&0
\\[3pt]~~~(\overline{z}+2i)z-2i\overline{z}-4i^2+4i^2&=&0
\\[3pt]~~~(\overline{z}+2i)z-2i(\overline{z}+2i)+4i^2&=&0
\\[3pt]~~~(z-2i)(\overline{z}+2i)&=&4
\\[3pt]~~~(z-2i)\overline{(z-2i)}&=&4
\\[3pt]~~~|\, z-2i \,|^2&=&4
\\[3pt]~~~|\, z-2i \,|&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、点 \(2i\) を中心、半径 \(2\) の円を表す
