- 数学C｜複素数平面「動点zとω=αz+βの表す図形」の基本例題解説ページです。
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問題｜動点zとω=αz+βの表す図形
複素数平面 26\(\omega=2+iz\) として、点 \(z\) が原点 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(1\) の円上を動くとき、点 \(\omega\) はどのような図形を描くか？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
動点zとω=αz+βの表す図形
Point：動点zとω=αz+βの表す図形
① 動点 \(z\) を表す方程式を求める。
原点 \({\rm O}\) を中心、半径 \(1\) の円より、\(|\, z \,|=1\)
② \(\omega\) の式を \(z\) について変形する。
\(\omega=2+iz\) より、\(z=\displaystyle \frac{\,\omega-2\,}{\,i\,}\)
③ 両辺に絶対値をとり、\(\omega\) の方程式を求める。
\(|\, z \,|=\left|\, \displaystyle \frac{\,\omega-2\,}{\,i\,} \,\right|=1\) より、\(|\, \omega-2 \,|=1\)
動点 \(z\) と \(\omega=\alpha z+\beta\) から点 \(\omega\) の表す図形の求め方は、
① 動点 \(z\) を表す方程式を求める。
原点 \({\rm O}\) を中心、半径 \(1\) の円より、\(|\, z \,|=1\)
② \(\omega\) の式を \(z\) について変形する。
\(\omega=2+iz\) より、\(z=\displaystyle \frac{\,\omega-2\,}{\,i\,}\)
③ 両辺に絶対値をとり、\(\omega\) の方程式を求める。
\(|\, z \,|=\left|\, \displaystyle \frac{\,\omega-2\,}{\,i\,} \,\right|=1\) より、\(|\, \omega-2 \,|=1\)
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詳しい解説｜動点zとω=αz+βの表す図形
複素数平面 26\(\omega=2+iz\) として、点 \(z\) が原点 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(1\) の円上を動くとき、点 \(\omega\) はどのような図形を描くか？
高校数学C｜複素数平面
点 \(z\) は、原点 \({\rm O}\) を中心、半径 \(1\) の円上より、
\(|\, z \,|=1\)
\(\omega=2+iz\) を \(z\) について変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2+iz&=&\omega
\\[3pt]~~~iz&=&\omega-2
\\[3pt]~~~z&=&\displaystyle \frac{\,\omega-2\,}{\,i\,}\end{eqnarray}\)
両辺に絶対値をとり、\(|\, z \,|=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, z \,|=\left|\, \displaystyle \frac{\,\omega-2\,}{\,i\,} \,\right|&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,|\, \omega-2 \,|\,}{\,|\, i \,|\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,|\, \omega-2 \,|\,}{\,1\,}&=&1
\\[5pt]~~~|\, \omega-2 \,|&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、点 \(\omega\) は、点 \(2\) を中心、半径 \(1\) の円を描く
