- 数学C｜複素数平面「動点zとω=1/zの表す図形」の基本例題解説ページです。
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問題｜動点zとω=1/zの表す図形
複素数平面 27☆点 \(z\) が点 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、\(\omega=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) を満たす点 \(\omega\) はどのような図形を描くか？
高校数学C｜複素数平面
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動点zとω=1/zの表す図形
解法のPoint
動点zとω=1/zの表す図形
Point：動点zとω=1/zの表す図形動く点 \(z\) と \(\omega=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) から点 \(\omega\) の表す図形の求め方は、
① 動く点 \(z\) を表す方程式を求める。
点 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を通り実軸に垂直な直線
\(\Leftrightarrow\) 原点と点 \(1\) に向かう線分の垂直二等分線
これより、\(|\, z \,|=|\, z-1 \,|\)
② \(\omega\) の式を \(z\) について変形する。
\(\omega \ne 0\) であるので、\(z=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}\)
③ ①の式に代入して、\(\omega\) の方程式を求める。
\(\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,} \,\right|=\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}-1 \,\right|\) \(\Leftrightarrow\) \(|\, \omega-1 \,|=1\)
① 動く点 \(z\) を表す方程式を求める。
点 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を通り実軸に垂直な直線
\(\Leftrightarrow\) 原点と点 \(1\) に向かう線分の垂直二等分線
これより、\(|\, z \,|=|\, z-1 \,|\)
② \(\omega\) の式を \(z\) について変形する。
\(\omega \ne 0\) であるので、\(z=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}\)
③ ①の式に代入して、\(\omega\) の方程式を求める。
\(\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,} \,\right|=\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}-1 \,\right|\) \(\Leftrightarrow\) \(|\, \omega-1 \,|=1\)
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詳しい解説｜動点zとω=1/zの表す図形
複素数平面 27☆点 \(z\) が点 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、\(\omega=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) を満たす点 \(\omega\) はどのような図形を描くか？
高校数学C｜複素数平面
点 \(z\) は点 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を通り実軸に垂直な直線上より、
原点と点 \(1\) に向かう線分の垂直二等分線と考えると、
\(|\, z \,|=|\, z-1 \,|~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(\omega=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\omega z&=&1\end{eqnarray}\)
\(\omega=0\) のとき成り立たないので、\(\omega \ne 0\) となり、
\(z=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,} \,\right|&=&\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}-1 \,\right|
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\, \omega \,|\,}&=&\left|\, \displaystyle \frac{\,1-\omega\,}{\,\omega\,} \,\right|
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\, \omega \,|\,}&=&\displaystyle \frac{\,|\, 1-\omega \,|\,}{\,|\, \omega \,|\,}
\\[5pt]~~~1&=&|\, 1-\omega \,|\end{eqnarray}\)
よって、
\(|\, \omega-1 \,|=1\)
したがって、点 \(\omega\) は、点 \(1\) を中心、半径 \(1\) の円を描く
ただし、\(\omega \ne 0\) より、原点を除く
