- 数学C｜複素数平面「複素数平面上の半直線のなす角」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数平面上の半直線のなす角
複素数平面 28\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=2+6i\) のとき、\(\angle \beta\alpha\gamma\) の値の求め方は？（ただし、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\)）
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
複素数平面上の半直線のなす角
Point：複素数平面上の半直線のなす角
※ 半直線 \({\rm AB}\) と \({\rm AC}\) とのなす角が \(\angle \beta\alpha\gamma\) となるので、\({\rm AB}\) と \({\rm AC}\) を回転角と考えて \(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) を用いて求める。
① 複素数 \(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) を極形式に変形する。
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\sqrt{2}\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)\)
② 極形式の偏角より \(\angle \beta\alpha\gamma\) を求める。
\(\angle \beta\alpha\gamma=\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
複素数平面上の異なる \(3\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)~,~\)\({\rm C}(\gamma)\) において、\(\angle \beta\alpha\gamma\) の大きさは、
※ 半直線 \({\rm AB}\) と \({\rm AC}\) とのなす角が \(\angle \beta\alpha\gamma\) となるので、\({\rm AB}\) と \({\rm AC}\) を回転角と考えて \(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) を用いて求める。
① 複素数 \(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) を極形式に変形する。
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\sqrt{2}\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)\)
② 極形式の偏角より \(\angle \beta\alpha\gamma\) を求める。
\(\angle \beta\alpha\gamma=\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
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詳しい解説｜複素数平面上の半直線のなす角
複素数平面 28\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=2+6i\) のとき、\(\angle \beta\alpha\gamma\) の値の求め方は？（ただし、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\)）
高校数学C｜複素数平面
\(\alpha=1+i~,~\beta=3-2i~,~\gamma=2+6i\) より、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\) の範囲で考えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}&=&\displaystyle \frac{\,(2+6i)-(1+i)\,}{\,(3-2i)-(1+i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+6i-1-i\,}{\,3-2i-1-i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+5i\,}{\,2-3i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+5i)(2+3i)\,}{\,(2-3i)(2+3i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+3i+10i+15i^2\,}{\,4-9i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-15+13i\,}{\,4+9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-13+13i\,}{\,13\,}
\\[5pt]~~~&=&-1+i\end{eqnarray}\)
ここで、\(-1+i\) を極形式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~|-1+i|&=&\sqrt{\,(-1)^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) より、\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}&=&\sqrt{2}\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle \beta\alpha\gamma&=&\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle \beta\alpha\gamma=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) となる
