複素数平面上の一直線・垂直の条件

\(\alpha=1+i~,~\beta=3-2i~,~\gamma=x+2i\) とし、\(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) が一直線上にあるとき、\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) が実数となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}&=&\displaystyle \frac{\,(x+2i)-(1+i)\,}{\,(3-2i)-(1+i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x+2i-1-i\,}{\,3-2i-1-i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x-1)+i\,}{\,2-3i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(x-1)+i\}(2+3i)\,}{\,(2-3i)(2+3i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-1)+3(x-1)i+2i+3i^2\,}{\,4-9i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x-2-3+(3x-3+2)i\,}{\,4+9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x-5\,}{\,13\,}+\displaystyle \frac{\,3x-1\,}{\,13\,}i\end{eqnarray}\)

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実数になるとき、虚部が \(0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x-1\,}{\,13\,}&=&0
\\[5pt]~~~3x-1&=&0
\\[3pt]~~~3x&=&1
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる

 
 

また、\(2\) 直線 \({\rm AB}\) と \({\rm AC}\) が垂直に交わるとき、\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) が純虚数となり、実部が \(0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2x-5\,}{\,13\,}&=&0
\\[5pt]~~~2x-5&=&0
\\[3pt]~~~2x&=&5
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(x=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) となる