このページは、「複素数平面上の一直線・垂直の条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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複素数平面上の一直線・垂直の条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01複素数 \(z_1~,~z_2~,~z_3\) について、\(3\) 点 \({\rm A}(2z_1+z_3)~,~{\rm B}(3z_1-z_2)~,~{\rm C}(2z_2+3z_3)\) は一直線上にあることを示せ。ただし、\(z_1\neq z_2+z_3\) とする。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.146 練習問題A 6
[証明] \(3\) 点 \({\rm A}(2z_1+z_3)~,~{\rm B}(3z_1-z_2)~,~{\rm C}(2z_2+3z_3)\) について、\(\displaystyle \frac{\,(2z_2+3z_3)-(2z_1+z_3)\,}{\,(3z_1-z_2)-(2z_1+z_3)\,}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(2z_2+3z_3)-(2z_1+z_3)\,}{\,(3z_1-z_2)-(2z_1+z_3)\,}&=&\displaystyle \frac{\,2z_2+3z_3-2z_1-z_3\,}{\,3z_1-z_2-2z_1-z_3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2z_1+2z_2+2z_3\,}{\,z_1-z_2-z_3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2(z_1-z_2-z_3)\,}{\,z_1-z_2-z_3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2z_1+2z_2+2z_3\,}{\,z_1-z_2-z_3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2(z_1-z_2-z_3)\,}{\,z_1-z_2-z_3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(z_1\neq z_2+z_3\) より \(z_1-z_2-z_3\neq 0\) であることより、分母と分子を \(z_1-z_2-z_3\) で約分できるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-2(z_1-z_2-z_3)\,}{\,z_1-z_2-z_3\,}&=&-2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(2z_2+3z_3)-(2z_1+z_3)\,}{\,(3z_1-z_2)-(2z_1+z_3)\,}&=&-2\end{eqnarray}\)
となり、\(-2\) は実数である
したがって、\(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) は一直線上にある [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}(z)~,~{\rm B}(z^2)~,~{\rm C}(z^3)\) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm AB}={\rm AC}\) が成り立つとき、点 \({\rm A}\) はどのような図形上にあるか。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.147 練習問題B 13
\(3\) 点 \({\rm A}(z)~,~{\rm B}(z^2)~,~{\rm C}(z^3)\) が三角形の頂点であり、たがいに異なる点であることより、
\(z\neq z^2~,~\)\(z^2\neq z^3~,~\)\(z\neq z^3\) が成り立つので、
\(\begin{eqnarray}~~~z\neq z^2~&\Leftrightarrow&~z(z-1)\neq 0
\\[3pt]~~~z\neq z^3~&\Leftrightarrow&~z(z-1)(z+1)\neq 0\end{eqnarray}\)
より、
\(\begin{eqnarray}~~~z\neq 0~,~1~,~-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\(3\) 点 \({\rm A}(z)~,~{\rm B}(z^2)~,~{\rm C}(z^3)\) が一直線上にあるときは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z^3-z\,}{\,z^2-z\,}\end{eqnarray}\)
が実数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z^3-z\,}{\,z^2-z\,}&=&\displaystyle \frac{\,z(z-1)(z+1)\,}{\,z(z-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&z+1\end{eqnarray}\)
より、\(z+1\) が実数、すなわち \(z\) が実数となる
よって、\(3\) 点が一直線上にないためには、\(z\) は実数でないことが必要である
\(\begin{eqnarray}~~~z\text{ は実数でない}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\rm AB}={\rm AC}\) が成り立つことより、
\(\begin{eqnarray}~~~|z^2-z|&=&|z^3-z|\end{eqnarray}\)
ここで、左辺と右辺をそれぞれ因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|z(z-1)|&=&|z(z-1)(z+1)|
\\[3pt]~~~|z|\,|z-1|&=&|z|\,|z-1|\,|z+1|\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(z\neq 0~,~1\) であり、\(|z|\neq 0~,~|z-1|\neq 0\) であることより、両辺を \(|z|\,|z-1|\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&|z+1|
\\[3pt]~~~|z+1|&=&1\end{eqnarray}\)
すなわち、
\(\begin{eqnarray}~~~|z-(-1)|&=&1\end{eqnarray}\)
より、点 \(z\) は点 \(-1\) を中心とする半径 \(1\) の円をえがく
ここで、この円は点 \(0\) と点 \(-2\) を通るが、
※ \(z=0\) は \({\small [\,1\,]}\) より \(3\) 点が異なる点とならないため不適。\(z=-2\) は実数であり \({\small [\,2\,]}\) を満たさない（\(3\) 点が一直線上に並ぶ）ため不適。
したがって、点 \({\rm A}\) は点 \(-1\) を中心とする半径 \(1\) の円上にある。ただし、点 \(-2~,~0\) を除く
