複素数平面上の一直線・垂直の条件

東京書籍｜Advanced数学C[701] p.143 問題 12

\({\small (1)}~\)[証明] 点 \({\rm C}(z_3)\) が点 \({\rm A}(z_1)\) に移るように、直線 \({\rm CD}\) を平行移動する。

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この平行移動が \(\alpha\) だけの平行移動であるとすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~z_3+\alpha&=&z_1\\[3pt]~~~\alpha&=&z_1-z_3\end{eqnarray}\)

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このとき、点 \({\rm D}(z_4)\) も同じだけ平行移動するので、移った点を \({\rm D}^{\prime}\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~z_4+\alpha&=&z_4+(z_1-z_3)\\[3pt]~~~&=&z_4+z_1-z_3\end{eqnarray}\)

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よって、点 \({\rm D}^{\prime}\) は \({\rm D}^{\prime}(z_4+z_1-z_3)\) となる。

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ここで、平行移動によって直線 \({\rm CD}\) は直線 \({\rm AD}^{\prime}\) に移るので、

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直線 \({\rm CD}\) と直線 \({\rm AD}^{\prime}\) の向きは同じであるから、

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\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) が平行である \(~\Leftrightarrow ~\) \(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm AD}^{\prime}\) が平行である

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また、\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm AD}^{\prime}\) はともに点 \({\rm A}\) を通るので、

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この \(2\) 直線の向きが同じになるのは \(2\) 直線が重なるときであり、それは \(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm D}^{\prime}\) が一直線上にあるときであるから、

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\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm AD}^{\prime}\) が平行である \(~\Leftrightarrow ~\) \(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm D}^{\prime}\) が一直線上にある

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さらに、\(3\) 点 \({\rm A}(z_1)~,~{\rm B}(z_2)~,~{\rm D}^{\prime}(z_4+z_1-z_3)\) が一直線上にある条件より、

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\(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm D}^{\prime}\) が一直線上にある \(~\Leftrightarrow ~\) \(\displaystyle \frac{\,(z_4+z_1-z_3)-z_1\,}{\,z_2-z_1\,}\) が実数

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この分数を計算すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(z_4+z_1-z_3)-z_1\,}{\,z_2-z_1\,}&=&\displaystyle \frac{\,z_4+z_1-z_3-z_1\,}{\,z_2-z_1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,z_4-z_3\,}{\,z_2-z_1\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) が平行である \(~\Leftrightarrow ~\) \(\displaystyle \frac{\,z_4-z_3\,}{\,z_2-z_1\,}\) が実数 となる [終]

 
 

\({\small (2)}~\)[証明] \({\small (1)}~\) と同様に、点 \({\rm C}(z_3)\) が点 \({\rm A}(z_1)\) に移るように直線 \({\rm CD}\) を平行移動すると、

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点 \({\rm D}(z_4)\) は点 \({\rm D}^{\prime}(z_4+z_1-z_3)\) に移る。

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ここで、平行移動によって直線 \({\rm CD}\) は直線 \({\rm AD}^{\prime}\) に移り、直線の向きは変わらないので、

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\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) が垂直に交わる \(~\Leftrightarrow ~\) \(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm AD}^{\prime}\) が垂直に交わる

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また、\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm AD}^{\prime}\) はともに点 \({\rm A}\) を通るので、

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\(3\) 点 \({\rm A}(z_1)~,~{\rm B}(z_2)~,~{\rm D}^{\prime}(z_4+z_1-z_3)\) について、\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm AD}^{\prime}\) が垂直に交わる条件より、

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\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm AD}^{\prime}\) が垂直に交わる \(~\Leftrightarrow ~\) \(\displaystyle \frac{\,(z_4+z_1-z_3)-z_1\,}{\,z_2-z_1\,}\) が純虚数

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この分数を計算すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(z_4+z_1-z_3)-z_1\,}{\,z_2-z_1\,}&=&\displaystyle \frac{\,z_4+z_1-z_3-z_1\,}{\,z_2-z_1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,z_4-z_3\,}{\,z_2-z_1\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(2\) 直線 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) が垂直に交わる \(~\Leftrightarrow ~\) \(\displaystyle \frac{\,z_4-z_3\,}{\,z_2-z_1\,}\) が純虚数 となる [終]

東京書籍｜Advanced数学C[701] p.146 練習問題A 6

[証明] \(3\) 点 \({\rm A}(2z_1+z_3)~,~{\rm B}(3z_1-z_2)~,~{\rm C}(2z_2+3z_3)\) について、\(\displaystyle \frac{\,(2z_2+3z_3)-(2z_1+z_3)\,}{\,(3z_1-z_2)-(2z_1+z_3)\,}\) を計算すると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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ここで、\(z_1\neq z_2+z_3\) より \(z_1-z_2-z_3\neq 0\) であることより、分母と分子を \(z_1-z_2-z_3\) で約分できるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-2(z_1-z_2-z_3)\,}{\,z_1-z_2-z_3\,}&=&-2\end{eqnarray}\)

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これより、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(2z_2+3z_3)-(2z_1+z_3)\,}{\,(3z_1-z_2)-(2z_1+z_3)\,}&=&-2\end{eqnarray}\)

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となり、\(-2\) は実数である

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したがって、\(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) は一直線上にある [終]

東京書籍｜Advanced数学C[701] p.147 練習問題B 13

\(3\) 点 \({\rm A}(z)~,~{\rm B}(z^2)~,~{\rm C}(z^3)\) が三角形の頂点であり、たがいに異なる点であることより、

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\(z\neq z^2~,~\)\(z^2\neq z^3~,~\)\(z\neq z^3\) が成り立つので、

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\(\begin{eqnarray}~~~z\neq z^2~&\Leftrightarrow&~z(z-1)\neq 0
\\[3pt]~~~z\neq z^3~&\Leftrightarrow&~z(z-1)(z+1)\neq 0\end{eqnarray}\)

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より、

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\(\begin{eqnarray}~~~z\neq 0~,~1~,~-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、\(3\) 点 \({\rm A}(z)~,~{\rm B}(z^2)~,~{\rm C}(z^3)\) が一直線上にあるときは、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z^3-z\,}{\,z^2-z\,}\end{eqnarray}\)

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が実数となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z^3-z\,}{\,z^2-z\,}&=&\displaystyle \frac{\,z(z-1)(z+1)\,}{\,z(z-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&z+1\end{eqnarray}\)

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より、\(z+1\) が実数、すなわち \(z\) が実数となる

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よって、\(3\) 点が一直線上にないためには、\(z\) は実数でないことが必要である

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\(\begin{eqnarray}~~~z\text{ は実数でない}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、\({\rm AB}={\rm AC}\) が成り立つことより、

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\(\begin{eqnarray}~~~|z^2-z|&=&|z^3-z|\end{eqnarray}\)

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ここで、左辺と右辺をそれぞれ因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~|z(z-1)|&=&|z(z-1)(z+1)|
\\[3pt]~~~|z|\,|z-1|&=&|z|\,|z-1|\,|z+1|\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より \(z\neq 0~,~1\) であり、\(|z|\neq 0~,~|z-1|\neq 0\) であることより、両辺を \(|z|\,|z-1|\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~1&=&|z+1|
\\[3pt]~~~|z+1|&=&1\end{eqnarray}\)

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すなわち、

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\(\begin{eqnarray}~~~|z-(-1)|&=&1\end{eqnarray}\)

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より、点 \(z\) は点 \(-1\) を中心とする半径 \(1\) の円をえがく

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ここで、この円は点 \(0\) と点 \(-2\) を通るが、

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※ \(z=0\) は \({\small [\,1\,]}\) より \(3\) 点が異なる点とならないため不適。\(z=-2\) は実数であり \({\small [\,2\,]}\) を満たさない（\(3\) 点が一直線上に並ぶ）ため不適。

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したがって、点 \({\rm A}\) は点 \(-1\) を中心とする半径 \(1\) の円上にある。ただし、点 \(-2~,~0\) を除く