- 数学C｜複素数平面「複素数の等式の三角形の形状」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の等式の三角形の形状
複素数平面 30異なる \(3\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)~,~\)\({\rm C}(\gamma)\) において、\(\gamma=(1+\sqrt{\,3\,}i)\beta-\sqrt{\,3\,}i\alpha\) が成り立つとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の形状の調べ方は？
高校数学C｜複素数平面
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複素数の等式の三角形の形状
解法のPoint
複素数の等式の三角形の形状
Point：複素数の等式の三角形の形状複素数の等式から三角形の形状は、
① 等式を変形して、\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) の値を求める。
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=1+\sqrt{\,3\,}i\)
② \(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) を極形式で表す。
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
③ \(\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) より \(\angle {\rm A}\) の大きさを求める。
\(\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\angle {\rm A}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
④ \(\left|\,\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\,\right|\) の値より、辺 \({\rm AB}\) と辺 \({\rm AC}\) の長さの比を求め、三角形の形状を決定する。
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\,\right|=2\) より、\({\rm AB}:{\rm AC}=1:2\)
① 等式を変形して、\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) の値を求める。
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=1+\sqrt{\,3\,}i\)
② \(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) を極形式で表す。
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
③ \(\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) より \(\angle {\rm A}\) の大きさを求める。
\(\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\angle {\rm A}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
④ \(\left|\,\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\,\right|\) の値より、辺 \({\rm AB}\) と辺 \({\rm AC}\) の長さの比を求め、三角形の形状を決定する。
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\,\right|=2\) より、\({\rm AB}:{\rm AC}=1:2\)
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詳しい解説｜複素数の等式の三角形の形状
複素数平面 30異なる \(3\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)~,~\)\({\rm C}(\gamma)\) において、\(\gamma=(1+\sqrt{\,3\,}i)\beta-\sqrt{\,3\,}i\alpha\) が成り立つとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の形状の調べ方は？
高校数学C｜複素数平面
\(\gamma=(1+\sqrt{\,3\,}i)\beta-\sqrt{\,3\,}i\alpha\) の両辺に \(-\alpha\) を足すと、
※ \(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\) をつくるために、まずは左辺に \(\gamma-\alpha\) をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~\gamma-\alpha&=&(1+\sqrt{\,3\,}i)\beta-\sqrt{\,3\,}i\alpha-\alpha
\\[3pt]~~~\gamma-\alpha&=&(1+\sqrt{\,3\,}i)\beta-(1+\sqrt{\,3\,}i)\alpha
\\[3pt]~~~\gamma-\alpha&=&(1+\sqrt{\,3\,}i)(\beta-\alpha)\end{eqnarray}\)
両辺を \(\beta-\alpha\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}&=&1+\sqrt{\,3\,}i\end{eqnarray}\)
ここで、\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を極形式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~|1+\sqrt{\,3\,}i|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\) より、\(\angle {\rm A}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\,\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\,\right|&=&2
\\[5pt]~~~|\gamma-\alpha|&=&2|\beta-\alpha|\end{eqnarray}\)
\(|\gamma-\alpha|={\rm AC}~,~\)\(|\beta-\alpha|={\rm AB}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}:{\rm AC}&=&1:2\end{eqnarray}\)
よって、\(\angle {\rm A}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~{\rm AB}:{\rm AC}=1:2\) より、
したがって、\({\rm AB}:{\rm AC}:{\rm BC}=1:2:\sqrt{\,3\,}~,~\)\(\angle {\rm B}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の直角三角形となる
