- 数学C｜複素数平面「複素数平面上の三角形の面積」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜複素数平面上の三角形の面積
複素数平面 31☆複素数平面上の \(3\) 点 \(0~,~\)\(\alpha=(-1+\sqrt{\,3\,})+(1+\sqrt{\,3\,})i~,~\)\(\beta=\sqrt{\,3\,}+i\) を頂点とする三角形について、複素数 \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) の値の求め方は？また、この三角形の面積の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
練習問題アーカイブページはこちら→
複素数平面上の三角形の面積
解法のPoint
複素数平面上の三角形の面積
Point：複素数平面上の三角形の面積複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}(0)~,~\)\({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)\) をつくる三角形の面積は、
① 複素数 \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) の値を求め、極形式で表す。
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=1+i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
② \(\angle {\rm AOB}~,~{\rm OA}~,~{\rm OB}\) を求め、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積を求める。
\(\angle {\rm AOB}=\arg \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\({\rm OA}=|\,\alpha\,|=2\sqrt{\,2\,}~,~\)\({\rm OB}=|\,\beta\,|=2\)
これより、
\(\triangle {\rm OAB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot {\rm OA} \cdot {\rm OB} \cdot \sin \angle {\rm AOB}\)
① 複素数 \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) の値を求め、極形式で表す。
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=1+i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
② \(\angle {\rm AOB}~,~{\rm OA}~,~{\rm OB}\) を求め、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積を求める。
\(\angle {\rm AOB}=\arg \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\({\rm OA}=|\,\alpha\,|=2\sqrt{\,2\,}~,~\)\({\rm OB}=|\,\beta\,|=2\)
これより、
\(\triangle {\rm OAB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot {\rm OA} \cdot {\rm OB} \cdot \sin \angle {\rm AOB}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜複素数平面上の三角形の面積
複素数平面 31☆複素数平面上の \(3\) 点 \(0~,~\)\(\alpha=(-1+\sqrt{\,3\,})+(1+\sqrt{\,3\,})i~,~\)\(\beta=\sqrt{\,3\,}+i\) を頂点とする三角形について、複素数 \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) の値の求め方は？また、この三角形の面積の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
\(3\) 点を \({\rm O}(0)~,~{\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)\) とする
\(\alpha=(-1+\sqrt{\,3\,})+(1+\sqrt{\,3\,})i~,~\beta=\sqrt{\,3\,}+i\) より、\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}&=&\displaystyle \frac{\,(-1+\sqrt{\,3\,})+(1+\sqrt{\,3\,})i\,}{\,\sqrt{\,3\,}+i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(-1+\sqrt{\,3\,})+(1+\sqrt{\,3\,})i\}(\sqrt{\,3\,}-i)\,}{\,(\sqrt{\,3\,}+i)(\sqrt{\,3\,}-i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}+3)+(1-\sqrt{\,3\,})i+(\sqrt{\,3\,}+3)i+(1+\sqrt{\,3\,})\,}{\,3-(-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}+3+1+\sqrt{\,3\,})+(1-\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,3\,}+3)i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+4i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&1+i\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(-1+\sqrt{\,3\,})+(1+\sqrt{\,3\,})i\}(\sqrt{\,3\,}-i)\,}{\,(\sqrt{\,3\,}+i)(\sqrt{\,3\,}-i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}+3)+(1-\sqrt{\,3\,})i+(\sqrt{\,3\,}+3)i+(1+\sqrt{\,3\,})\,}{\,3-(-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}+3+1+\sqrt{\,3\,})+(1-\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,3\,}+3)i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+4i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&1+i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=1+i\) となる
ここで、\(1+i\) を極形式で表すと、
\(1+i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|1+i|&=&\sqrt{\,1^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、偏角 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}&=&\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm AOB}&=&\arg \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
また、\({\rm OA}=|\,\alpha\,|\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OA}&=&|\,\alpha\,|
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(-1+\sqrt{\,3\,})^2+(1+\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(1-2\sqrt{\,3\,}+3)+(1+2\sqrt{\,3\,}+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{8}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm OB}=|\,\beta\,|\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OB}&=&|\,\beta\,|
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(\sqrt{\,3\,})^2+1^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{4}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~{\rm OA}=2\sqrt{\,2\,}~,~{\rm OB}=2\) より、
\(\triangle {\rm OAB}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OAB}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot {\rm OA} \cdot {\rm OB} \cdot \sin \angle {\rm AOB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot 2 \cdot \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot 2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、三角形の面積は \(2\) となる
