このページは、「複素数平面上の三角形の面積」の練習問題アーカイブページとなります。
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複素数平面上の三角形の面積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}(0)~,~\)\({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)\) について、次の問に答えよ。ただし、\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=(-\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}-1)i\) とする。
\({\small (1)}~\)複素数 \(\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm OAB}\) の面積を求めよ。
\({\small (1)}~\)複素数 \(\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm OAB}\) の面積を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.146 練習問題A 3
東京書籍｜Standard数学C[702] p.142 Level Up 5
\({\small (1)}~\)\(\alpha=1+i~,~\beta=(-\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}-1)i\) より、\(\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}-1)i\,}{\,1+i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(-\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}-1)i\}(1-i)\,}{\,(1+i)(1-i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}+1)i+(\sqrt{\,3\,}-1)i+(\sqrt{\,3\,}-1)\,}{\,1-i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}-1+\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}+1+\sqrt{\,3\,}-1)i\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2+2\sqrt{\,3\,}i\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-1+\sqrt{\,3\,}i\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\{(-\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}-1)i\}(1-i)\,}{\,(1+i)(1-i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}+1)i+(\sqrt{\,3\,}-1)i+(\sqrt{\,3\,}-1)\,}{\,1-i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-\sqrt{\,3\,}-1+\sqrt{\,3\,}-1)+(\sqrt{\,3\,}+1+\sqrt{\,3\,}-1)i\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2+2\sqrt{\,3\,}i\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-1+\sqrt{\,3\,}i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}=-1+\sqrt{\,3\,}i\) となる
\({\small (2)}~\)\(-1+\sqrt{\,3\,}i\) を極形式で表すと、
\(-1+\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|-1+\sqrt{\,3\,}i|&=&\sqrt{\,(-1)^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角 \(\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm AOB}&=&\arg \displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
また、\({\rm OA}=|\,\alpha\,|\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OA}&=&|\,\alpha\,|
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1^2+1^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm OB}=|\,\beta\,|\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OB}&=&|\,\beta\,|
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(-\sqrt{\,3\,}-1)^2+(\sqrt{\,3\,}-1)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(3+2\sqrt{\,3\,}+1)+(3-2\sqrt{\,3\,}+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{8}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~{\rm OA}=\sqrt{\,2\,}~,~{\rm OB}=2\sqrt{\,2\,}\) より、
\(\triangle {\rm OAB}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OAB}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot {\rm OA} \cdot {\rm OB} \cdot \sin \angle {\rm AOB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \sqrt{\,2\,} \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot \sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \sqrt{\,2\,} \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積は \(\sqrt{\,3\,}\) となる
