このページは、「動点zとω=1/zの表す図形」の練習問題アーカイブページとなります。
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動点zとω=1/zの表す図形 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01点 \(z\) が点 \(1\) を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、\(w=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) で表される点 \(w\) は、どのような図形を描くか。
数研出版｜数学C[708] p.111 研究 練習1
点 \(z\) は点 \(1\) を通り実軸に垂直な直線上より、
原点と点 \(2\) に向かう線分の垂直二等分線と考えると、
\(|\, z \,|=|\, z-2 \,|~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(w=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~wz&=&1\end{eqnarray}\)
\(w=0\) のとき成り立たないので、\(w \ne 0\) となり、
\(z=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,w\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,w\,} \,\right|&=&\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,w\,}-2 \,\right|
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\, w \,|\,}&=&\left|\, \displaystyle \frac{\,1-2w\,}{\,w\,} \,\right|
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,|\, w \,|\,}&=&\displaystyle \frac{\,|\, 1-2w \,|\,}{\,|\, w \,|\,}
\\[5pt]~~~1&=&|\, 1-2w \,|\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, 2w-1 \,|&=&1
\\[5pt]~~~2\left|\, w-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \,\right|&=&1
\\[5pt]~~~\left|\, w-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \,\right|&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \(w\) は、点 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を中心、半径 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の円を描く
ただし、\(w \ne 0\) より、原点を除く
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02複素数平面上で、点 \(z\) は、点 \(-1\) を中心とする半径 \(1\) の円の原点以外の部分を動くとする。このとき、\(w=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) で表される点 \(w\) はどのような図形を描くか。
数研出版｜数学C[708] p.113 演習問題B 6
点 \(z\) は点 \(-1\) を中心とする半径 \(1\) の円の原点以外の部分より、
\(|\, z+1 \,|=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(w=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~wz&=&1\end{eqnarray}\)
\(w=0\) のとき成り立たないので、\(w \ne 0\) となり、
\(z=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,w\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,w\,}+1 \,\right|&=&1
\\[5pt]~~~\left|\, \displaystyle \frac{\,1+w\,}{\,w\,} \,\right|&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,|\, 1+w \,|\,}{\,|\, w \,|\,}&=&1
\\[5pt]~~~|\, 1+w \,|&=&|\, w \,|\end{eqnarray}\)
よって、
\(|\, w+1 \,|=|\, w \,|\)
これは点 \(-1\) と原点に向かう線分の垂直二等分線より、
したがって、点 \(w\) は、点 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) を通り実軸に垂直な直線を描く
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(w=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{z}\,}\) とする。点 \(z\) が点 \(1\) を中心とする半径 \(2\) の円上を動くとき、点 \(w\) はどのような図形をえがくか。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.145 参考 問1
点 \(z\) は点 \(1\) を中心とする半径 \(2\) の円上より、
\(|\, z-1 \,|=2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(w=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{z}\,}\) の両辺の共役な複素数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{w}&=&\overline{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{z}\,}\right)}
\\[5pt]~~~\overline{w}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\end{eqnarray}\)
\(\overline{w}=0\) のとき成り立たないので、\(\overline{w} \ne 0\) となり、
\(z=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{w}\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{w}\,}-1 \,\right|&=&2
\\[5pt]~~~\left|\, \displaystyle \frac{\,1-\overline{w}\,}{\,\overline{w}\,} \,\right|&=&2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,|\, 1-\overline{w} \,|\,}{\,|\, \overline{w} \,|\,}&=&2
\\[5pt]~~~|\, 1-\overline{w} \,|&=&2|\, \overline{w} \,|\end{eqnarray}\)
\(|\, \overline{w} \,|=|\, w \,|~,~\)\(|\, 1-\overline{w} \,|=|\, \overline{1-w} \,|=|\, 1-w \,|\) より、
\(|\, w-1 \,|=2|\, w \,|\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, w-1 \,|^2&=&4|\, w \,|^2
\\[5pt]~~~(w-1)\overline{(w-1)}&=&4w\overline{w}
\\[5pt]~~~(w-1)(\overline{w}-1)&=&4w\overline{w}
\\[5pt]~~~w\overline{w}-w-\overline{w}+1&=&4w\overline{w}
\\[5pt]~~~3w\overline{w}+w+\overline{w}-1&=&0
\\[5pt]~~~w\overline{w}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}w+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overline{w}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=&0
\\[5pt]~~~\left(w+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\left(\overline{w}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~\left(w+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\overline{\left(w+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~\left|\, w+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \,\right|^2&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~\left|\, w+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \,\right|&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \(w\) は、点 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) を中心、半径 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) の円をえがく
