このページは、「複素数の方程式の表す図形」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\alpha=1+\sqrt{3}i\) とする。複素数平面上の原点 \({\rm O}\) と点 \({\rm A}(\alpha)\) を結ぶ線分 \({\rm OA}\) の垂直二等分線上の点を表す複素数 \(z\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}\) の値は一定であることを示せ。
\({\small (2)}~\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}\) の値は一定であることを示せ。
\({\small (2)}~\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}\) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.104 章末問題B 6
\({\small (1)}~\)\(z\) は線分 \({\rm OA}\) の垂直二等分線上の点であり、\(2\) 点 \({\rm O}(0)~,~{\rm A}(\alpha)\) から等距離にあることより、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, z \,|&=&|\, z-\alpha \,|\end{eqnarray}\)
を満たすので、両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, z \,|^2&=&|\, z-\alpha \,|^2\end{eqnarray}\)
ここで、\(|\, z \,|^2=z\overline{z}\) であることを利用すると、
\(\begin{eqnarray}~~~z\overline{z}&=&(z-\alpha)(\overline{z-\alpha})
\\[3pt]~~~z\overline{z}&=&(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})
\\[3pt]~~~z\overline{z}&=&z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}+\alpha\overline{\alpha}\end{eqnarray}\)
式を整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}&=&\alpha\overline{\alpha}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=\alpha\overline{\alpha}=|\, \alpha \,|^2\) となり、値は一定である [終]
\({\small (2)}~\)\(\alpha=1+\sqrt{3}i\) について、\({\small (1)}\) の結果を利用すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}&=&\alpha\overline{\alpha}
\\[3pt]~~~&=&|\, \alpha \,|^2
\\[3pt]~~~&=&1^2+(\sqrt{3})^2
\\[3pt]~~~&=&1+3
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=4\) となる
