このページは、「内分点・外分点・重心を表す複素数」の練習問題アーカイブページとなります。
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内分点・外分点・重心を表す複素数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とする。
\({\small (1)}~{\rm M}\) を複素数平面上の原点とし、\({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) とする。\(\gamma\) を \(\beta\) を用いて表せ。
\({\small (2)}~\)等式 \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) が成り立つことを、\({\small (1)}\) を利用して証明せよ。
\({\small (1)}~{\rm M}\) を複素数平面上の原点とし、\({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) とする。\(\gamma\) を \(\beta\) を用いて表せ。
\({\small (2)}~\)等式 \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) が成り立つことを、\({\small (1)}\) を利用して証明せよ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.103 問題 10
\({\small (1)}~\)\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点であり、原点であることより、
\({\rm B}(\beta)\) と \({\rm C}(\gamma)\) の中点が原点 \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\beta+\gamma\,}{\,2\,}&=&0
\\[5pt]~~~\beta+\gamma&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(\gamma=-\beta\) となる
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) より \(\gamma=-\beta\) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2+{\rm AC}^2&=&|\beta-\alpha|^2+|\gamma-\alpha|^2
\\[5pt]~~~&=&|\beta-\alpha|^2+|\beta+\alpha|^2
\\[5pt]~~~&=&(\beta-\alpha)(\overline{\beta}-\overline{\alpha})+(\beta+\alpha)(\overline{\beta}+\overline{\alpha})
\\[5pt]~~~&=&2(\alpha\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta})
\\[5pt]~~~&=&2(|\alpha|^2+|\beta|^2)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&|\beta-\alpha|^2+|\beta+\alpha|^2
\\[5pt]~~~&=&(\beta-\alpha)(\overline{\beta}-\overline{\alpha})+(\beta+\alpha)(\overline{\beta}+\overline{\alpha})
\\[5pt]~~~&=&2(\alpha\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta})
\\[5pt]~~~&=&2(|\alpha|^2+|\beta|^2)\end{eqnarray}\)
また、\({\rm M}\) は原点 \(0\) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)&=&2(|0-\alpha|^2+|0-\beta|^2)
\\[5pt]~~~&=&2(|\alpha|^2+|\beta|^2)\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(0\) でない複素数 \(z_1~,~z_2\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\)\(|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\) が成り立つことを示せ。
\({\small (2)}~3\) 点 \({\rm A}(z_1)~,~\)\({\rm B}(z_2)~,~\)\({\rm C}(-z_2)\) が一直線上にないとき、\({\small (1)}\) で示した等式は \(\triangle {\rm ABC}\) に関してどのようなことを表しているか。
\({\small (1)}~\)\(|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\) が成り立つことを示せ。
\({\small (2)}~3\) 点 \({\rm A}(z_1)~,~\)\({\rm B}(z_2)~,~\)\({\rm C}(-z_2)\) が一直線上にないとき、\({\small (1)}\) で示した等式は \(\triangle {\rm ABC}\) に関してどのようなことを表しているか。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.143 問題 13
\({\small (1)}~\)[証明] \(|z|^2=z\overline{z}\) であることを利用して、左辺を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2
\\[5pt]~~~&=&(z_1-z_2)(\overline{z_1-z_2})+(z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})
\\[5pt]~~~&=&(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})+(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})
\\[5pt]~~~&=&2(z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2})
\\[5pt]~~~&=&2(|z_1|^2+|z_2|^2)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\) が成り立つ [終]
\({\small (2)}~\)\(3\) 点 \({\rm A}(z_1)~,~\)\({\rm B}(z_2)~,~\)\({\rm C}(-z_2)\) について、
辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm M}&=&\displaystyle \frac{\,z_2+(-z_2)\,}{\,2\,}=0\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm M}\) は原点となる
ここで、\({\small (1)}\) の等式の各辺を \(2\) 点間の距離で表すと、
\(|z_1-z_2|={\rm AB}\)
\(|z_1+z_2|=|z_1-(-z_2)|={\rm AC}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2={\rm AB}^2+{\rm AC}^2\end{eqnarray}\)
また、\(|z_1|=|z_1-0|={\rm AM}~,~\)
\(|z_2|=|z_2-0|={\rm BM}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2(|z_1|^2+|z_2|^2)=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) としたとき \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) が成り立つことを表している
