このページは、「1のn乗根と複素数平面」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(n\) を \(2\) 以上の整数とする。\(\alpha=\cos \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) のとき、\(1\) の \(n\) 乗根は、\(1~,~\alpha~,~\alpha^2~,~\alpha^3~,~\cdots~,~\alpha^{n-1}\) で与えられることを示せ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.103 問題 6
[証明] \(1\) の \(n\) 乗根は、
\(z_k=\cos \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,n\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,n\,}\)
\((k=0~,~1~,~2~,~\cdots~,~n-1)\)
ここで、\(\alpha=\cos \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\) について、ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha^k&=&\left(\cos \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2\pi\,}{\,n\,}\right)^k
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,n\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,2k\pi\,}{\,n\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(z_k=\alpha^k\)
よって、\(k=0~,~1~,~2~,~\cdots~,~n-1\) を代入すると、
\(z_0=\alpha^0=1~,~z_1=\alpha~,~z_2=\alpha^2~,~z_3=\alpha^3~,~\cdots~,~z_{n-1}=\alpha^{n-1}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(1\) の \(n\) 乗根は \(1~,~\alpha~,~\alpha^2~,~\alpha^3~,~\cdots~,~\alpha^{n-1}\) で与えられる [終]
