共役な複素数と複素数平面

複素数 \( z=1-2i \) の実軸に関して対称な点は、

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\( 1+2i \) より、\( \overline{z}=1+2i \) となる

 
 

複素数 \( z=1-2i \) の原点に関して対称な点は、

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\( -1+2i \) より、\( -z=-1+2i \) となる

 
 

複素数 \( z=1-2i \) の虚軸に関して対称な点は、

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\( -1-2i \) より、\( -\overline{z}=-1-2i \) となる

 
 

[証明] \( \alpha=a+bi \) とすると、共役な複素数は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\alpha}=a-bi\end{eqnarray}\)

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また、複素数 \( \alpha \) が実数になるのは、\( b=0 \) のときより、

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\(\begin{eqnarray}~~~\alpha&=&a+0 \cdot i=a\\[3pt]~~~\overline{\alpha}&=&a-0 \cdot i=a\end{eqnarray}\)

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これより、共役な複素数 \( \overline{\alpha} \) が複素数 \( \alpha \) と等しくなる

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したがって、\(\overline{\alpha}=\alpha\) が条件となる

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複素数 \( \alpha \) が純虚数になるのは、\( a=0~,~b\ne 0 \) のときより、

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\(\begin{eqnarray}~~~\alpha&=&0+bi=bi\\[3pt]~~~\overline{\alpha}&=&0-bi=-bi\end{eqnarray}\)

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これより、複素数 \( \alpha \) が \( 0 \) でなく、共役な複素数 \( \overline{\alpha} \) が複素数 \( -\alpha \) と等しくなる

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したがって、\(\overline{\alpha}=-\alpha~,~\alpha\ne 0\) が条件となる [終]