- 数学C｜複素数平面「方程式の解と共役な複素数」の基本例題解説ページです。
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問題｜方程式の解と共役な複素数
複素数平面 05複素数 \( \alpha \) が方程式 \( ax^2+bx+c=0 \)（\( a~,~b~,~c \) は実数）の解であるとき \( \overline{\alpha} \)（共役な複素数）も解であることを示す方法は？
高校数学C｜複素数平面
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方程式の解と共役な複素数
解法のPoint
方程式の解と共役な複素数
Point：方程式の解と共役な複素数実数係数の方程式の \(1\) つの解が複素数 \( \alpha \) のとき、共役な複素数 \( \overline{\alpha} \) も解であることの証明は、
① 方程式に解 \( x=\alpha \) を代入する。
\( a\alpha^2+b\alpha+c=0 \)
② 代入した式の共役な複素数をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{a\alpha^2+b\alpha+c}&=&\overline{0}\\[3pt]~~~a(\overline{\alpha})^2+b(\overline{\alpha})+c&=&0\end{eqnarray}\)
③ 共役な複素数 \( \overline{\alpha} \) も解にもつことを示す。
① 方程式に解 \( x=\alpha \) を代入する。
\( a\alpha^2+b\alpha+c=0 \)
② 代入した式の共役な複素数をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{a\alpha^2+b\alpha+c}&=&\overline{0}\\[3pt]~~~a(\overline{\alpha})^2+b(\overline{\alpha})+c&=&0\end{eqnarray}\)
③ 共役な複素数 \( \overline{\alpha} \) も解にもつことを示す。
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詳しい解説｜方程式の解と共役な複素数
複素数平面 05複素数 \( \alpha \) が方程式 \( ax^2+bx+c=0 \)（\( a~,~b~,~c \) は実数）の解であるとき \( \overline{\alpha} \)（共役な複素数）も解であることを示す方法は？
高校数学C｜複素数平面
[証明] 方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) が解 \( x=\alpha \) をもつことより、
\(\begin{eqnarray}~~~a\alpha^2+b\alpha+c=0\end{eqnarray}\)
共役な複素数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{a\alpha^2+b\alpha+c}&=&\overline{0}\\[3pt]~~~\overline{a\alpha^2}+\overline{b\alpha}+\overline{c}&=&\overline{0}\\[3pt]~~~\overline{a}\,\overline{\alpha}^2+\overline{b}\,\overline{\alpha}+\overline{c}&=&\overline{0}\end{eqnarray}\)
ここで、\( a~,~b~,~c~,~0 \) は実数より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\,\overline{\alpha}^2+b\,\overline{\alpha}+c&=&0\\[3pt]~~~a(\overline{\alpha})^2+b(\overline{\alpha})+c&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) は \( x=\overline{\alpha} \) も解にもつ [終]
