- 数学C｜複素数平面「複素数平面上の3点がつくる正三角形」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数平面上の3点がつくる正三角形
複素数平面 16☆複素数平面上の \(2\) 点 \({\rm A}(1)~,~\)\({\rm B}(3+4i)\) において、\({\rm AB}\) を \(1\) 辺とする正三角形をつくるとき、点 \({\rm C}\) を表す複素数の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
複素数平面上の3点がつくる正三角形
Point：複素数平面上の3点がつくる正三角形
点 \({\rm C}(\gamma)\) は、点 \({\rm A}(\alpha)\) を中心に点 \({\rm B}(\beta)\) を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) または \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転させた点となる。
これより、
これより、\(\gamma\) の値を求める。
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) が正三角形となるとき、
点 \({\rm C}(\gamma)\) は、点 \({\rm A}(\alpha)\) を中心に点 \({\rm B}(\beta)\) を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) または \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転させた点となる。
これより、
\(\gamma-\alpha=\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)(\beta-\alpha)\)
\(\gamma-\alpha=\left\{\cos\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}(\beta-\alpha)\)
\(\gamma-\alpha=\left\{\cos\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}(\beta-\alpha)\)
これより、\(\gamma\) の値を求める。
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詳しい解説｜複素数平面上の3点がつくる正三角形
複素数平面 16☆複素数平面上の \(2\) 点 \({\rm A}(1)~,~\)\({\rm B}(3+4i)\) において、\({\rm AB}\) を \(1\) 辺とする正三角形をつくるとき、点 \({\rm C}\) を表す複素数の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
点 \({\rm C}(\gamma)\) とすると、\(\triangle {\rm ABC}\) が正三角形となるためには、
点 \({\rm C}\) は、点 \({\rm A}\) を中心に点 \({\rm B}\) を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) または \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 回転させた点となるので、
\({\small [\,1\,]}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 回転させたときは、
\(\begin{eqnarray}~~~\gamma-1&=&\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\{(3+4i)-1\}
\\[5pt]~~~\gamma&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)(2+4i)+1
\\[5pt]~~~\gamma&=&1+2i+\sqrt{\,3\,}i+2\sqrt{\,3\,}i^2+1
\\[5pt]~~~\gamma&=&2-2\sqrt{\,3\,}+(2+\sqrt{\,3\,})i\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 回転させたときは、
\(\begin{eqnarray}~~~\gamma-1&=&\left\{\cos\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}\{(3+4i)-1\}
\\[5pt]~~~\gamma&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)(2+4i)+1
\\[5pt]~~~\gamma&=&1+2i-\sqrt{\,3\,}i-2\sqrt{\,3\,}i^2+1
\\[5pt]~~~\gamma&=&2+2\sqrt{\,3\,}+(2-\sqrt{\,3\,})i\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\gamma&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)(2+4i)+1
\\[5pt]~~~\gamma&=&1+2i-\sqrt{\,3\,}i-2\sqrt{\,3\,}i^2+1
\\[5pt]~~~\gamma&=&2+2\sqrt{\,3\,}+(2-\sqrt{\,3\,})i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
点 \({\rm C}\) は、\({\rm C}\left(2-2\sqrt{\,3\,}+(2+\sqrt{\,3\,})i\right)\) または \({\rm C}\left(2+2\sqrt{\,3\,}+(2-\sqrt{\,3\,})i\right)\) となる
