- 数学C｜複素数平面「複素数の絶対値を用いた計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の絶対値を用いた計算
複素数平面 08☆\(\alpha=1+i\) のとき、\(|\, \alpha+1 \,|~,~\)\(\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|\) のそれぞれの値の求め方は？また、\(|\, \beta \,|=3~,~\)\(|\, \beta+2 \,|=2\) のとき、\(\beta+\overline{\beta}\) の値の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
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複素数の絶対値を用いた計算
解法のPoint
複素数の絶対値を用いた計算
Point：複素数の絶対値を用いた計算複素数の式の絶対値は、
① 複素数の式を計算して、\(a+bi\) の形にする。
\(\alpha+1=(1+i)+1=2+i\)
② 絶対値 \(|\, a+bi \,|\) を求める。
\(|\, 2+i \,|=\sqrt{\,2^2+1^2\,}=\sqrt{\,5\,}\)
① 絶対値の \(2\) 乗 \(|\,z\,|^2=z\overline{z}\) の値を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|^2&=&\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}\right)\overline{\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}\right)}\\[5pt]~~~&=&\alpha\overline{\alpha}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\overline{\alpha}\,}+2\end{eqnarray}\)
② \(\alpha\overline{\alpha}\) の値を代入して、絶対値を求める。
① 複素数の式を計算して、\(a+bi\) の形にする。
\(\alpha+1=(1+i)+1=2+i\)
② 絶対値 \(|\, a+bi \,|\) を求める。
\(|\, 2+i \,|=\sqrt{\,2^2+1^2\,}=\sqrt{\,5\,}\)
■ \(a+bi\) の形にできないとき
① 絶対値の \(2\) 乗 \(|\,z\,|^2=z\overline{z}\) の値を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|^2&=&\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}\right)\overline{\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}\right)}\\[5pt]~~~&=&\alpha\overline{\alpha}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\overline{\alpha}\,}+2\end{eqnarray}\)
② \(\alpha\overline{\alpha}\) の値を代入して、絶対値を求める。
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詳しい解説｜複素数の絶対値を用いた計算
複素数平面 08☆\(\alpha=1+i\) のとき、\(|\, \alpha+1 \,|~,~\)\(\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|\) のそれぞれの値の求め方は？また、\(|\, \beta \,|=3~,~\)\(|\, \beta+2 \,|=2\) のとき、\(\beta+\overline{\beta}\) の値の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+1&=&(1+i)+1\\[3pt]~~~&=&2+i\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha+1 \,|&=&\sqrt{\,2^2+1^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+1\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\, \alpha+1 \,|=\sqrt{\,5\,}\) となる
\(\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|\) の \(2\) 乗の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|^2&=&\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}\right)\overline{\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}\right)}\\[5pt]~~~&=&\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}\right)\left(\overline{\alpha}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\alpha\overline{\alpha}+1+1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\overline{\alpha}\,}\\[5pt]~~~&=&\alpha\overline{\alpha}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\overline{\alpha}\,}+2\end{eqnarray}\)
ここで、\(\alpha=1+i\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\overline{\alpha}=|\, \alpha \,|^2&=&1^2+1^2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|^2&=&2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+1+4\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\left|\, \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,} \,\right|=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\) となる
\(|\, \beta+2 \,|=2\) より、\(2\) 乗の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \beta+2 \,|^2&=&2^2\\[3pt]~~~(\beta+2)\overline{(\beta+2)}&=&4\\[3pt]~~~(\beta+2)(\overline{\beta}+2)&=&4\\[3pt]~~~\beta\overline{\beta}+2(\beta+\overline{\beta})+4&=&4\end{eqnarray}\)
ここで、\(|\, \beta \,|=3\) の \(2\) 乗の値より、
\(\begin{eqnarray}~~~\beta\overline{\beta}=|\, \beta \,|^2&=&3^2\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~9+2(\beta+\overline{\beta})+4&=&4\\[3pt]~~~2(\beta+\overline{\beta})&=&-9\\[3pt]~~~\beta+\overline{\beta}&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\beta+\overline{\beta}=-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
