- 数学C｜複素数平面「複素数の極形式と乗法・除法」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の極形式と乗法・除法
複素数平面 10\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\beta=2+2i\) のとき、\(\alpha\,\beta\) と \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) を極形式で表す方法は？また、\(|\,\alpha\,\beta\,|~,~\)\(\left|\,\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\,\right|~,~\)\(|\,\alpha\,|^2\) のそれぞれの値の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
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複素数の極形式と乗法・除法
解法のPoint
複素数の極形式と乗法・除法
Point：複素数の極形式と乗法・除法\(0\) でない複素数 \(z_1~,~z_2\) を極形式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~z_1&=&r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)\\[5pt]~~~z_2&=&r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)\end{eqnarray}\)
このとき、
\(z_1\,z_2=r_1\,r_2\left\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right\}\)
\(\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}=\displaystyle \frac{\,r_1\,}{\,r_2\,}\left\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right\}\)
また、絶対値は、
\(|\,z_1\,z_2\,|=|\,z_1\,||\,z_2\,|~,~\left|\,\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}\,\right|=\displaystyle \frac{\,|\,z_1\,|\,}{\,|\,z_2\,|\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~z_1&=&r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)\\[5pt]~~~z_2&=&r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)\end{eqnarray}\)
このとき、
\(z_1\,z_2=r_1\,r_2\left\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right\}\)
\(\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}=\displaystyle \frac{\,r_1\,}{\,r_2\,}\left\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right\}\)
また、絶対値は、
\(|\,z_1\,z_2\,|=|\,z_1\,||\,z_2\,|~,~\left|\,\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}\,\right|=\displaystyle \frac{\,|\,z_1\,|\,}{\,|\,z_2\,|\,}\)
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詳しい解説｜複素数の極形式と乗法・除法
複素数平面 10\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\beta=2+2i\) のとき、\(\alpha\,\beta\) と \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) を極形式で表す方法は？また、\(|\,\alpha\,\beta\,|~,~\)\(\left|\,\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\,\right|~,~\)\(|\,\alpha\,|^2\) のそれぞれの値の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i\) より、絶対値 \(r_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r_1&=&|\,\alpha\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta_1\) は、
\(\cos \theta_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta_1=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、\(\theta_1=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) となる
よって、
\(\alpha=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
\(\beta=2+2i\) より、絶対値 \(r_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r_2&=&|\,\beta\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta_2\) は、
\(\cos \theta_2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta_2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、\(\theta_2=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) となる
よって、
\(\beta=2\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
これより、積 \(\alpha\,\beta\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\,\beta&=&2 \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot \left\{\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,} \cdot \left(\cos \displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,} \cdot \left(\cos \displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\alpha\,\beta=4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\) となる
また、商 \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}\left\{\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\) となる
絶対値の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\alpha\,\beta\,|&=&|\,\alpha\,| \cdot |\,\beta\,|
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 2\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\,\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\,\right|&=&\displaystyle \frac{\,|\,\alpha\,|\,}{\,|\,\beta\,|\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\alpha\,|^2&=&2^2
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、
\(|\,\alpha\,\beta\,|=4\sqrt{\,2\,}~,~\left|\,\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\,\right|=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}~,~|\,\alpha\,|^2=4\) となる
定理の証明
定理01\(z_1\,z_2=r_1\,r_2\left\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right\}\) の証明方法は？
[証明] \(z_1=r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)~,~\)\(z_2=r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)\) より、積 \(z_1z_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~z_1z_2&=&r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1) \cdot r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)
\\[3pt]~~~&=&r_1r_2\{(\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2)+i(\sin \theta_1\cos \theta_2+\cos \theta_1\sin \theta_2)\}
\\[3pt]~~~&=&r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&r_1r_2\{(\cos \theta_1\cos \theta_2-\sin \theta_1\sin \theta_2)+i(\sin \theta_1\cos \theta_2+\cos \theta_1\sin \theta_2)\}
\\[3pt]~~~&=&r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 加法定理の逆を用いる。
したがって、
\(|\,z_1z_2\,|=r_1r_2=|\,z_1\,||\,z_2\,|\)
\(\arg(z_1z_2)=\theta_1+\theta_2=\arg z_1+\arg z_2\)
[終]
定理02\(\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}=\displaystyle \frac{\,r_1\,}{\,r_2\,}\left\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right\}\) の証明方法は？
[証明] \(z_1=r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)~,~\)\(z_2=r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)\) より、商 \(\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}&=&\displaystyle \frac{\,r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)\,}{\,r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,r_1\,}{\,r_2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)\,}{\,(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,r_1\,}{\,r_2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)\,}{\,(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、分母は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)
\\[3pt]~~~&=&\cos^2 \theta_2-i^2\sin^2 \theta_2
\\[3pt]~~~&=&\cos^2 \theta_2+\sin^2 \theta_2
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\cos^2 \theta_2-i^2\sin^2 \theta_2
\\[3pt]~~~&=&\cos^2 \theta_2+\sin^2 \theta_2
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、分子は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)(\cos \theta_2-i\sin \theta_2)
\\[3pt]~~~&=&\cos \theta_1\cos \theta_2-i\cos \theta_1\sin \theta_2+i\sin \theta_1\cos \theta_2-i^2\sin \theta_1\sin \theta_2
\\[3pt]~~~&=&(\cos \theta_1\cos \theta_2+\sin \theta_1\sin \theta_2)+i(\sin \theta_1\cos \theta_2-\cos \theta_1\sin \theta_2)
\\[3pt]~~~&=&\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\cos \theta_1\cos \theta_2-i\cos \theta_1\sin \theta_2+i\sin \theta_1\cos \theta_2-i^2\sin \theta_1\sin \theta_2
\\[3pt]~~~&=&(\cos \theta_1\cos \theta_2+\sin \theta_1\sin \theta_2)+i(\sin \theta_1\cos \theta_2-\cos \theta_1\sin \theta_2)
\\[3pt]~~~&=&\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 加法定理の逆を用いる。
よって、
\(\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}=\displaystyle \frac{\,r_1\,}{\,r_2\,}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}\)
したがって、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}\,\right|=\displaystyle \frac{\,r_1\,}{\,r_2\,}=\displaystyle \frac{\,|\,z_1\,|\,}{\,|\,z_2\,|\,}\)
\(\arg\left(\displaystyle \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}\right)=\theta_1-\theta_2=\arg z_1-\arg z_2\)
[終]
