- 数学C｜複素数平面「複素数の絶対値の2乗|α|²を用いた証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の絶対値の2乗|α|²を用いた証明
複素数平面 07\(|\, \alpha \,|=1\) のとき、\(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\) が実数であることの証明方法は？
高校数学C｜複素数平面
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複素数の絶対値の2乗|α|²を用いた証明
解法のPoint
複素数の絶対値の2乗|α|²を用いた証明
Point：複素数の絶対値の2乗|α|²を用いた証明絶対値の条件が与えられた証明は、
\(|\, \alpha \,|=1\) より、
\(|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}=1^2\)
これを用いて証明する。
また、実数であることの証明では、
\(\overline{z}=z\) であることを示す。
\(|\, \alpha \,|=1\) より、
\(|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}=1^2\)
これを用いて証明する。
また、実数であることの証明では、
\(\overline{z}=z\) であることを示す。
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詳しい解説｜複素数の絶対値の2乗|α|²を用いた証明
複素数平面 07\(|\, \alpha \,|=1\) のとき、\(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\) が実数であることの証明方法は？
高校数学C｜複素数平面
[証明] \(|\, \alpha \,|=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha \,|^2=\alpha\overline{\alpha}&=&1^2\\[3pt]~~~\alpha\overline{\alpha}&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\overline{\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\right)}=\overline{\alpha}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(\overline{\alpha}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\overline{\alpha}\,}=\alpha\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\right)}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}+\alpha\\[5pt]~~~&=&\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overline{\left(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\right)}=\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\) より、
\(\alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}\) は実数である [終]
