- 数学C｜複素数平面「複素数の積・商と点の回転」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の積・商と点の回転
複素数平面 12点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z~,~\)\((3-\sqrt{\,3\,}i)z~,~\)\(-iz~,~\)\(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) はそれぞれ点 \(z\) をどのように移動した点であるかの調べ方は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
複素数の積・商と点の回転
Point：複素数の積・商と点の回転
点 \(r(\cos \theta+i\sin \theta)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\theta\) だけ回転し、原点からの距離を \(r\) 倍にした点となる。
また、点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,r(\cos \theta+i\sin \theta)\,}\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(-\theta\) だけ回転し、原点からの距離を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\) 倍にした点となる。
複素数 \(z\) と \(r(\cos \theta+i\sin \theta)\) について、
点 \(r(\cos \theta+i\sin \theta)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\theta\) だけ回転し、原点からの距離を \(r\) 倍にした点となる。
また、点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,r(\cos \theta+i\sin \theta)\,}\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(-\theta\) だけ回転し、原点からの距離を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\) 倍にした点となる。
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詳しい解説｜複素数の積・商と点の回転
複素数平面 12点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z~,~\)\((3-\sqrt{\,3\,}i)z~,~\)\(-iz~,~\)\(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) はそれぞれ点 \(z\) をどのように移動した点であるかの調べ方は？
高校数学C｜複素数平面
点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z\) より、\(1+\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
これより、点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z\) は、点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転し、原点からの距離を \(2\) 倍にした点となる
点 \((3-\sqrt{\,3\,}i)z\) より、\(3-\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,3-\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,3^2+(-\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
よって、
\(3-\sqrt{\,3\,}i=2\sqrt{\,3\,}\left\{\cos\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)+i\sin\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\right\}\)
これより、点 \((3-\sqrt{\,3\,}i)z\) は、点 \(z\) を原点を中心に \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ回転し、原点からの距離を \(2\sqrt{\,3\,}\) 倍にした点となる
点 \(-iz\) より、\(-i\) の絶対値は、\(|\,-i\,|=1\) で、
\(\cos \theta=0~,~\sin \theta=-1\) より、偏角は \(\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
よって、
\(-i=\cos\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)+i\sin\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\)
これより、点 \(-iz\) は、点 \(z\) を原点を中心に \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点となる
点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) より、\(i\) の絶対値は、\(|\,i\,|=1\) で、
\(\cos \theta=0~,~\sin \theta=1\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
よって、
\(i=\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
これより、点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) は、点 \(z\) を原点を中心に \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点となる
